Теорія методу матриці передачі
1. Вступ
На цій сторінці ми виводимо метод матриці передачі (ММП) для багатошарових діелектричних структур, як показано на рисунку ??. Такі шаруваті структури подібні до оптичних шарів, які використовуються в OLED-дисплеях, тонкоплівкових сонячних батареях і оптичних покриттях, де товщина окремих шарів порівнянна з довжиною хвилі світла, зазвичай від сотень нанометрів до кількох мікрометрів. За таких умов оптична інтерференція, відбиття та поглинання значно впливають на характеристики пристрою, тому їх необхідно враховувати, використовуючи рівняння Максвелла та хвильову оптику, а не просту променеву оптику. Для більш широкого ознайомлення з методом матриці передачі та його застосуванням в оптичному моделюванні див. Що таке метод матриці передачі?. Для отримання практичної покрокової інструкції щодо використання оптичної моделі матриці передачі в OghmaNano див. Оптична модель матриці передачі.
2. Похідне значення/походження
З огляду на взаємодію між шарами 1 і 2, зображеною на рисунку ??, електричне поле в лівій частині цієї області визначається наступним чином:
\begin{equation} E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{eq:efield1} \end{equation}а в правій частині інтерфейсу електричне поле визначається наступним чином:
\begin{equation} E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{eq:efield2} \end{equation}Рівняння Максвелла визначають взаємозв’язок між електричним і магнітним полями для площини хвилі.
\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H} \end{equation}який в одному вимірі спрощується до
\begin{equation} \frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{eq:maxwell} \end{equation}Застосовуючи рівняння \eqref{eq:maxwell} до рівнянь \eqref{eq:efield1} і \eqref{eq:efield2}, ми отримуємо значення магнітного поля на лівій стороні межі поділу.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation}і в правій частині інтерфейсу
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}Наведення ладу приносить задоволення.
\begin{equation} H^{y}_{1}=\frac{k_1}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k_1}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation} \begin{equation} H^{y}_{2}=\frac{k_2}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k_2}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}3. Крайові умови
Зараз ми застосовуємо електричні та магнітні граничні умови.
\begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0 \end{equation} \begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0 \end{equation}Оцінювання полів на межі \(z=0\) дає
\begin{equation} (E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{eq:electric_boundary} \end{equation}і
\begin{equation} \frac{k_2}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - \frac{k_1}{\omega \mu}(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \end{equation}Вектор хвилі визначається наступним чином:
\begin{equation} k=\frac{2\pi n}{\lambda} \end{equation}Отже, ми можемо записати граничну умову для магнітного поля у вигляді:
\begin{equation} n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{eq:mag_boundary} \end{equation}4. Хвиля, що поширюється вперед.
Перегрупувавши рівняння \eqref{eq:mag_boundary}, отримаємо:
\begin{equation} E_{1}^{-} = E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Підставивши значення в рівняння \eqref{eq:electric_boundary}, отримаємо:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-} = E_{1}^{+}+E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+} = E_{2}^{+}+E_{2}^{-} + \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2} = E_{2}^{+} + E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \end{equation}5. Хвиля, що поширюється у зворотному напрямку
Перегрупуйте рівняння \eqref{eq:mag_boundary}, щоб отримати:
\begin{equation} E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Підставивши значення в рівняння \eqref{eq:electric_boundary}, отримаємо:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-} \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-} \end{equation}Ці рівняння набувають такого вигляду:
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-} \end{equation}і
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12} \end{equation}Враховуючи поширення, ми можемо записати наступне.
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}і
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}де
\begin{equation} \zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n} \end{equation}6. Реалізація за допомогою матриці перетворень.
Метод матриці передачі тепер можна реалізувати, описуючи оптичні поля в кожному шарі у вигляді вектора, що містить прямі та зворотні хвилі, які поширюються. Потім багатошарова оптична структура розв’язується шляхом багаторазового множення невеликих матриць, які описують поширення через кожен шар і відбиття/пропускання на кожному інтерфейсі. Цей підхід є обчислювально ефективним і вимагає лише простих операцій множення матриць, що полегшує його чисельну реалізацію.
Оптичне поле в шарі \(i\) описується наступним чином:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} \end{equation}де \(E_i^{+}\) і \(E_i^{-}\) – це відповідно хвилі, що поширюються вперед і назад.
На кожній межі між середовищами коефіцієнти Френеля для відбиття та проходження випромінювання визначаються наступним чином:
\begin{equation} r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}, \qquad t_{ij}=\frac{2n_i}{n_i+n_j} \end{equation}Отже, взаємозв’язок між шарами \(i\) і \(j\) можна описати наступним чином:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} = \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_j^{+} \\ E_j^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Поширення через шар товщиною \(d_i\) описується наступним чином:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z+d_i) \\ E_i^{-}(z+d_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z) \\ E_i^{-}(z) \end{pmatrix} \end{equation}де
\begin{equation} \zeta_i=\frac{2\pi \bar{n}_i}{\lambda} \end{equation}Матриця переходу для одного шару отримується шляхом множення матриці міжфазної взаємодії на матрицю поширення.
\begin{equation} M_i= \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \end{equation}Оптичну характеристику всієї багатошарової структури визначають шляхом множення відповідних матриць.
\begin{equation} M=M_1M_2M_3 \cdots M_n \end{equation}щоб, таким чином, щоб
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_0^{+} \\ E_0^{-} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} E_n^{+} \\ E_n^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Для пристрою, на який не надходить хвиля від заднього контакту, \(E_n^{-}=0\). Відбиті та пропущені поля можна потім безпосередньо обчислити на основі отриманих елементів матриці.
7. Розв’язування за допомогою однієї великої матриці
Наведений вище опис стосується класичного методу матриці передачі, в якому оптичне поле поширюється через послідовність дискретних шарів за допомогою матриць передачі. Цей підхід є надзвичайно ефективним і добре працює для традиційних багатошарових структур, таких як сонячні батареї, OLED-дисплеї, оптичні фільтри та тонкоплівкові сенсори, де пристрій можна природно описати як набір чітко визначених шарів.
Однак, у деяких оптичних системах геометрія не дозволяє застосувати просте пошарове описання. До таких систем належать структури з градієнтним показником заломлення, пристрої, що містять повітряні проміжки, розподілені резонатори зворотного зв’язку (DFB) та тривимірні структури, спроєктовані на одномірну оптичну сітку. У таких випадках зображення системи у вигляді послідовності дискретних шарів із чітко визначеними межами може бути складним.
Щоб вирішити цю проблему, OghmaNano може проєктувати рівняння матриці передачі на скінченно-різницеву сітку. Замість того, щоб поширювати оптичне поле шар за шаром, вся оптична система представляється єдиною матрицею, яка одночасно містить усі компоненти хвиль, що поширюються в прямому та зворотному напрямках. Отриману лінійну систему потім розв’язують шляхом обчислення оберненої матриці.
Для пристрою з невідбиваючими задніми контактами кінцева система має такий вигляд:
\begin{equation} \begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 & r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} & e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t_{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}Невідомий вектор містить оптичні поля, що поширюються в напрямку вперед і назад, по всій області пристрою, тоді як матриця коефіцієнтів містить інформацію про передачу та відбиття між сусідніми точками сітки або межами. Вектор правої частини представляє зовнішнє падаюче оптичне поле.
Для звичайних багатошарових пристроїв метод скінченних різниць зазвичай дає результати, які дуже схожі на ті, що отримують за допомогою класичного методу матриці передачі. Основною перевагою цього підходу є його гнучкість: складні геометричні форми можна безпосередньо відображати на сітці, не перетворюючи їх спочатку на послідовність ідеалізованих шарів. Це робить метод особливо корисним для таких структур, як дифракційні решітки DFB, пристрої з градієнтом показника заломлення та інші оптичні системи, де властивості матеріалу безперервно змінюються в просторі.
З точки зору користувача, класичний метод матриці передачі та метод скінченних різниць дають схожі результати, зокрема, щодо щільності фотонів, щільності поглинених фотонів, коефіцієнтів відбиття та пропускання, а також профілів генерації. Тому вибір між цими двома методами в основному залежить від того, наскільки природно можна представити оптичну структуру.
8. Комплексний показник заломлення та оптичне поглинання
Оптичне поглинання в методі передавальної матриці враховується за допомогою комплексного показника заломлення \(n+j\kappa\), де \(n\) – показник заломлення, а \(\kappa\) – коефіцієнт поглинання. Електричне поле, що поширюється крізь поглинаюче середовище, визначається наступним чином:
\begin{equation} E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t}) \end{equation}Оскільки оптична інтенсивність пропорційна квадрату напруженості електричного поля, коефіцієнт поглинання набуває значення:
\begin{equation} e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}} \end{equation} \begin{equation} \alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} \end{equation}👉 Наступний крок: Продовжуйте рух до Інструмент для моделювання методом матриці передачі щоб дізнатися, як реалізовано TMM у системі OghmaNano.