Simulación de espejos DFB y rejillas de Bragg mediante el método de la matriz de transferencia de diferencias finitas.
En este tutorial, utilizamos el solucionador de matrices de transferencia basado en diferencias finitas de OghmaNano para simular la reflexión, la transmisión y la absorción óptica de un espejo de retroalimentación distribuida (DFB) o una rejilla de Bragg. Estas estructuras utilizan una modulación periódica del índice de refracción para producir una reflexión fuerte y selectiva en longitud de onda mediante una dispersión distribuida coherente. En nuestro tutorial anterior tutorial sobre filtros ópticos, la estructura óptica se definía mediante la epitaxia del dispositivo; aquí, en cambio, utilizamos la programación en Lua para construir la rejilla directamente, lo que permite definir pilas y geometrías ópticas arbitrarias. El sistema de programación se describe con más detalle en la documentación del editor de pasos y la programación. A continuación, analizamos cómo una rejilla DFB de dos períodos determina los espectros resultantes de reflexión, transmisión y absorción.
1. Antecedentes
A diferencia de un espejo metálico, que refleja la luz en una única superficie, un espejo DFB refleja la luz mediante dispersiones repetidas en una estructura periódica (véase ??). Cuando el período de la rejilla cumple la condición de Bragg, las ondas reflejadas se suman en fase para producir una banda de reflexión intensa, o banda de bloqueo. La posición y el ancho de esta banda se controlan principalmente mediante el período de la rejilla, el contraste del índice de refracción y el número de períodos.
La banda de reflexión de un espejo DFB está centrada en la longitud de onda de Bragg \(\lambda_B\), que se determina mediante el período de la rejilla \(\Lambda\) y el índice de refracción efectivo \(n_{\text{eff}}\) del modo que se propaga a través de la estructura.
\[ m\lambda_B = 2 n_{\text{eff}} \Lambda \]donde \(m\) es el orden de difracción. La intensidad de la rejilla se describe mediante el coeficiente de acoplamiento \(\kappa\), que mide la intensidad con la que las ondas que se propagan en dirección directa e inversa están acopladas por la modulación del índice de refracción \(\Delta n\). Para una rejilla con un perfil de índice de refracción aproximadamente cuadrado,
\[ \kappa \approx \frac{2\,\Delta n}{\lambda_B} \]La reflectividad máxima de una rejilla uniforme de longitud \(L\) se puede determinar a partir de la teoría de los modos acoplados, y el resultado es el siguiente:
\[ R = \tanh^{2}(\kappa L) \]de modo que aumentar ya sea el contraste del índice o la longitud de la rejilla hace que la reflectividad se acerque a la unidad. El ancho de la banda de supresión varía en proporción al coeficiente de acoplamiento.
\[ \Delta\lambda \approx \frac{\lambda_B^{2}\,\kappa}{\pi\, n_{\text{eff}}} \]Por lo tanto, las rejillas de alto contraste producen bandas de reflexión amplias y fuertes, mientras que las rejillas de bajo contraste producen bandas estrechas. Estas relaciones sencillas son suficientes para determinar la banda de supresión y estimar su intensidad; a continuación, se necesita una solución electromagnética completa para captar la forma espectral detallada, la ondulación y el comportamiento fuera de la banda.
El método clásico de la matriz de transferencia asume una pila de capas planas con una periodicidad infinita. Sin embargo, en la práctica, los rejillas reales rara vez presentan una periodicidad perfecta. Para tratar estructuras arbitrarias, aperiódicas o con perturbaciones intencionadas —como la rejilla de dos periodos que se simula en este tutorial—, OghmaNano aplica el formalismo de la matriz de transferencia a una malla de diferencias finitas. La estructura óptica se discretiza en el espacio y se resuelve la propagación del campo en sentido directo e inverso, sección por sección, a lo largo de la malla. Este enfoque de matriz de transferencia con diferencias finitas conserva la eficiencia y la estabilidad numérica del método clásico de la matriz de transferencia, al tiempo que permite simular cualquier distribución espacial del índice de refracción, incluidas rejillas con más de un período, variación de período, atenuación o desorden incorporado.
2. Primeros pasos
Para iniciar su primer cálculo de espejo DFB, abra la ventana de Nueva simulación desde la pestaña Archivo en el menú principal (consulte ??). Seleccione el grupo del método de la matriz de transferencia y haga doble clic en el ejemplo de rejilla de Bragg (1D) (consulte ??). A continuación, guarde la simulación en una carpeta de su disco. Verá entonces la ventana principal (consulte ?? y ??), que muestra una rejilla de Bragg de dos períodos. El ejemplo carga una rejilla de Bragg de dos períodos. El espaciamiento entre las rejillas más estrechas es de 140 nm, mientras que el espaciamiento entre las rejillas ligeramente más anchas es de 218 nm. La propia rejilla está hecha de SiO2, mientras que el medio que la rodea es, en este ejemplo, aire. Una vez que se haya abierto la simulación, puede examinar la estructura en la ventana principal (consulte ??).
3. Ejecutar la simulación de DFB.
?? muestra el mismo dispositivo desde un ángulo ligeramente diferente. Haga clic en el botón «Ejecutar simulación» para calcular los espectros (véase ??); una vez finalizada la simulación, los resultados aparecerán en la pestaña «Salida» (véase ??). Al hacer clic en «Ejecutar simulación», el solucionador comienza a recorrer el espectro óptico, calculando una longitud de onda a la vez (véase ??). Cada línea de color en la ventana (Solve optical slice at … nm) corresponde a una longitud de onda diferente que se está calculando. Como se describe anteriormente, el método utilizado aquí es, en esencia, un método de matriz de transferencia proyectado sobre una cuadrícula de diferencias finitas, lo que permite procesar la rejilla de dos períodos arbitrarios.
3. Análisis de los resultados.
Una vez que se haya completado la simulación, abra la pestaña de resultados (consulte ??) para ver los archivos generados por el cálculo. Los principales resultados que se utilizan en este tutorial son device.csv, la carpeta optical_output y la carpeta optical_snapshots. Comience abriendo device.csv (consulte ??). Esto muestra una malla tridimensional del dispositivo tal como la ve el solucionador, lo que le permite verificar que la geometría de la rejilla se ha generado y se ha creado correctamente antes de examinar los resultados ópticos.
A continuación, haga doble clic en «optical_output» para abrir el editor de simulación óptica. La pestaña «Tasa de generación» (consulte ??) muestra dónde se absorben los fotones dentro de la estructura. Las regiones con poca o ninguna absorción corresponden principalmente al aire circundante, mientras que la absorción más intensa se produce dentro de la rejilla.
La pestaña «Luz reflejada» (véase ??) muestra las longitudes de onda que se reflejan en la rejilla, con bandas de reflexión bien definidas separadas por zonas de menor reflectividad. La pestaña «Luz transmitida» (véase ??) muestra el espectro de transmisión correspondiente, con una alta transmisión en las zonas donde la reflexión es baja.
4. Edición de los materiales ópticos
Los materiales ópticos utilizados por la rejilla se pueden inspeccionar y modificar desde el editor de absorción, al que se accede desde la pestaña de estructura del dispositivo en la ventana principal. Esto abre el editor de absorción (véase ?? y ??), que muestra el índice de refracción \(n\) y los datos de absorción \(\alpha\) tanto del SiO2 que compone la rejilla como del aire que la rodea. La pestaña de objeto (véase ??) muestra el material de la propia rejilla (Oxides/SiO2), mientras que la pestaña de entorno (véase ??) muestra el medio circundante (Generic/air). Aquí puede cambiar los materiales por los que desee, haciendo clic en el botón … en el campo de material óptico.
5. Modificación de la estructura de la rejilla.
Si hace clic con el botón derecho del ratón sobre la estructura DFB, se le ofrecerán varias opciones, entre ellas el editor de mallas y el editor de cristales (véase ??). Al hacer clic en el editor de mallas (véase ??), se muestran las dimensiones del propio cubo. Cabe recordar que el método de la matriz de transferencia es un método unidimensional, por lo que realmente no importa cuáles sean las otras dimensiones de la estructura; lo único que importa es el ancho a lo largo del eje de propagación, no necesariamente las otras dimensiones del cubo. Si estuviera utilizando FDTD en dos dimensiones, la otra dimensión sería más importante.
Seleccione el editor Crystal en el mismo menú (consulte ??) para ver el script de Lua que se utiliza para generar la estructura de difracción. En lugar de definir cada elemento de la estructura de difracción manualmente, se construye la estructura completa de forma programática. Al hacer clic en «Actualizar», se vuelve a ejecutar el script y se regenera la geometría. En este ejemplo, math.random introduce una pequeña variación posicional, por lo que la estructura de difracción cambia ligeramente cada vez que se regenera. Este efecto se puede observar en ??, donde la geometría de la estructura de difracción se actualiza cada dos segundos para ilustrar la variación aleatoria que se introduce en el período.
clear_points()
N = 200
radius = 1.5e-6
pitch = 3e-6
turns = 6
for i = 1, N do
t = (i / N) * turns * 2 * math.pi
-- first helix strand
x1 = radius * math.cos(t)
y1 = radius * math.sin(t)
z1 = (i / N) * turns * pitch
add_point(x1, y1, z1)
-- second helix strand offset by pi (opposite side)
x2 = radius * math.cos(t + math.pi)
y2 = radius * math.sin(t + math.pi)
add_point(x2, y2, z1)
end 
El guion comienza eliminando cualquier punto generado previamente y, a continuación, define los parámetros que controlan la geometría. El bucle principal for recorre la estructura paso a paso. En cada iteración, el valor actual de i se utiliza para calcular las coordenadas de la siguiente parte de la geometría, y estas coordenadas se añaden a la estructura mediante add_point(). Dentro del mismo bucle, se calcula un segundo conjunto de coordenadas para generar el punto correspondiente en el lado opuesto. En el ejemplo de la rejilla DFB, se utiliza la misma idea para colocar cada elemento de la rejilla en secuencia. Al modificar los parámetros o añadir términos como math.random(), el guion puede generar diferentes períodos, dimensiones o variaciones controladas en la rejilla.
6. Selección de la dirección de la iluminación.
Una característica útil de OghmaNano es que el cálculo de la matriz de transferencia no se limita a una única dirección de propagación. En muchas implementaciones, el cálculo se aplica solo a lo largo de la pila de capas, por ejemplo, mediante la epitaxia del dispositivo. En OghmaNano, en cambio, se puede seleccionar explícitamente la dirección de la iluminación, lo que permite simular la misma estructura a lo largo de cualquiera de los ejes principales.
Para elegir la dirección de la iluminación, abra la pestaña Óptica (consulte ??) y seleccione Fuentes de luz para abrir el editor de fuentes de luz (consulte ??). En la pestaña Configurar, utilice el campo Iluminar desde para seleccionar x0, x1, y0, y1, z0 o z1.
z0, con la fuente de luz situada en uno de los extremos de la rejilla.
z1, con la fuente de luz desplazada al extremo opuesto.En este ejemplo, al cambiar la iluminación de z0 (véase ??) a z1 (véase ??), simplemente se desplaza la fuente de luz al lado opuesto de la rejilla. Para esta estructura recíproca, la respuesta óptica es la misma en ambas direcciones, pero esta opción es útil cuando se estudian estructuras asimétricas o se comparan las ondas que se propagan desde lados opuestos.
7. Conclusión
En este tutorial, utilizamos OghmaNano para simular un espejo de retroalimentación distribuida (DFB) y una rejilla de Bragg mediante el método de la matriz de transferencia de diferencias finitas. Aprendió cómo generar una rejilla de dos periodos utilizando scripts de Lua, introducir aleatoriedad controlada para representar las tolerancias de fabricación, ejecutar el cálculo óptico e interpretar los espectros resultantes de reflexión, transmisión y absorción. También vio cómo se puede seleccionar la dirección de la iluminación a lo largo de cualquiera de los ejes principales, en lugar de limitarse a una dirección epitaxial fija. Estas técnicas se pueden utilizar para estudiar espejos láser DFB y DBR, rejillas de Bragg de fibra, filtros ópticos, espejos dieléctricos y otras estructuras fotónicas selectivas en longitud de onda, así como rejillas más complejas que contienen múltiples periodos, desorden o geometrías personalizadas.