Simulación de una cavidad de Fabry-Pérot mediante el método de la matriz de transferencia (TMM).

1. Introducción

Una cavidad de Fabry-Pérot es una estructura óptica resonante que se forma cuando la luz queda confinada entre dos límites que reflejan parcialmente. Las múltiples reflexiones dentro de la cavidad provocan que las ondas ópticas interfieran entre sí, generando resonancias de onda estacionaria en longitudes de onda específicas. Las longitudes de onda que cumplen la condición de resonancia de la cavidad experimentan una mayor transmisión y una fuerte acumulación del campo óptico dentro de la estructura.

Los resonadores de Fabry-Pérot se utilizan ampliamente en filtros ópticos, espejos dieléctricos, interferómetros, LED y cavidades láser. En este tutorial, modelaremos una cavidad de Fabry-Pérot unidimensional sencilla utilizando el método de la matriz de transferencia (TMM).

A diferencia del método FDTD, que propaga numéricamente el campo electromagnético tanto en el espacio como en el tiempo, el método de la matriz de transferencia asume una estructura estratificada unidimensional y resuelve analíticamente los campos ópticos dentro de cada capa. El campo electromagnético se representa como una superposición de ondas que se propagan en dirección directa e inversa, y los campos se conectan a través de las interfaces utilizando las condiciones de contorno de Maxwell. Para los sistemas multicapa planos, esto reduce considerablemente la complejidad computacional, lo que hace que el método de la matriz de transferencia sea extremadamente eficiente para analizar las resonancias de cavidad y los efectos de interferencia de películas delgadas. Una derivación completa del método de la matriz de transferencia se presenta en Teoría de la matriz de transferencia.

En condiciones de incidencia normal, la condición de resonancia de Fabry-Pérot es:

\(2nL = m\lambda\)

donde \(n\) es el índice de refracción dentro de la cavidad, \(L\) es la longitud de la cavidad, \(\lambda\) es la longitud de onda y \(m\) es un número entero que indica el modo.

Al reorganizar los elementos, se obtienen las siguientes longitudes de onda permitidas:

\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)

Esto significa que solo las longitudes de onda resonantes específicas se transmiten de manera eficiente a través de la cavidad. En este tutorial, observaremos directamente estas resonancias en los espectros de transmisión y reflexión, y también visualizaremos la densidad de fotones de onda estacionaria dentro de la cavidad.

2. Crear una nueva simulación.

Abra la ventana de la nueva simulación y seleccione la categoría del método de la matriz de transferencia (??). A continuación, seleccione el ejemplo de la cavidad de Fabry-Pérot (??).

Después de abrir el ejemplo, aparece la interfaz principal tal como se muestra en ??. La simulación consiste en una cavidad óptica sencilla formada por dos capas que reflejan parcialmente la luz y que están separadas por un espacio de aire.

La cavidad está formada por dos capas delgadas de material dieléctrico con un índice de refracción de \(n=3\), separadas por una región de aire. Estas dos capas de alto índice actúan como espejos que reflejan parcialmente la luz.

Cuando la luz de banda ancha entra en la estructura, se producen múltiples reflexiones entre los espejos. En las longitudes de onda que cumplen la condición de resonancia de la cavidad, las ondas reflejadas interfieren de forma constructiva, lo que produce un aumento del campo dentro de la cavidad y una mayor transmisión a través de la estructura.

3. Ejecución de la simulación óptica.

Abra la pestaña Óptica (??) y haga clic en el botón Matriz de transferencia. Esto iniciará el programa para resolver la matriz de transferencia óptica.

El método de la matriz de transferencia calcula la distribución del campo óptico, el espectro de reflexión, el espectro de transmisión y la densidad de fotones absorbidos en toda la estructura multicapa. Dado que este método funciona directamente en el dominio de la frecuencia, las simulaciones suelen completarse en solo unos pocos segundos.

Una vez finalizada la simulación, aparece el mapa de densidad de fotones que se muestra en ??. El eje horizontal corresponde a la posición dentro de la cavidad, mientras que el eje vertical corresponde a la longitud de onda.

Las zonas más brillantes indican las longitudes de onda en las que el campo óptico se intensifica considerablemente dentro de la estructura. La característica más destacada se observa cerca de los 450-500 nm, lo que corresponde a la resonancia fundamental de Fabry-Pérot de la cavidad.

La estructura espacial oscilatoria que se observa en el gráfico corresponde al patrón de onda estacionaria que se forma por la interferencia entre las ondas que se propagan en sentido directo e inverso dentro de la cavidad.

4. Espectros de reflexión y transmisión.

El programa que resuelve la ecuación de la matriz de transferencia también calcula la potencia óptica reflejada y transmitida. Estos resultados se muestran en ?? y ??.

La resonancia de la cavidad se manifiesta como una marcada disminución en el espectro de reflexión y un pico correspondiente en el espectro de transmisión. Físicamente, esto ocurre porque la cavidad almacena energía óptica de manera eficiente en la longitud de onda de resonancia, lo que permite que la luz atraviese la estructura en lugar de ser reflejada.

En esta estructura, la separación entre las cavidades es de aproximadamente 250 nm y el índice de refracción de la cavidad es cercano a 1. Por lo tanto, la condición de resonancia predice un modo fundamental cercano a...

\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)

lo cual coincide con los espectros observados anteriormente.

5. Modificación de la longitud de la cavidad.

Abra el editor de capas que se muestra en ??. La cavidad se forma mediante dos capas dieléctricas delgadas separadas por un espacio de aire.

En la estructura original, el grosor de la cavidad es de aproximadamente 260 nm. Aumente este valor a 300 nm, como se muestra en ??, y vuelva a ejecutar la simulación óptica.

Tras volver a ejecutar la simulación, se obtienen los espectros que se muestran en ?? y ??.

Al aumentar la longitud de la cavidad, la resonancia se desplaza hacia longitudes de onda más largas. Esto se deduce directamente de la condición de Fabry-Pérot:

\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)

Dado que la longitud de onda de resonancia es proporcional a la longitud de la cavidad, aumentar \(L\) provoca que el pico de transmisión se desplace de forma sistemática hacia longitudes de onda mayores.

También debe observar las resonancias más débiles que corresponden a los modos de cavidad de orden superior (\(m=2,3,\dots\)).

6. Visualización de imágenes instantáneas de la densidad de fotones.

Vuelva a la pestaña de resultados que se muestra en ??. Abra el directorio optical_snapshots para examinar la distribución de la densidad de fotones en cada longitud de onda.

El visualizador de imágenes permite examinar la distribución del campo óptico en longitudes de onda específicas a lo largo de toda la estructura de la cavidad. A diferencia de los mapas de longitud de onda y posición que se mostraron anteriormente, estas imágenes ofrecen una visión directa del patrón de onda estacionaria que se forma en el interior de la cavidad a una sola longitud de onda.

En las figuras ?? y ?? se muestran ejemplos de distribuciones de densidad de fotones.

Estos gráficos muestran la distribución espacial de la densidad de fotones dentro de la cavidad de Fabry-Pérot. El comportamiento oscilatorio se debe a la interferencia entre las ondas ópticas que se propagan en direcciones opuestas y que se reflejan en los dos espejos de la cavidad. Las regiones de alta densidad de fotones corresponden a los antinodos de la onda estacionaria, mientras que los mínimos corresponden aproximadamente a los nodos de la onda estacionaria.

Las imágenes de la densidad de fotones que se muestran en ?? y ?? ofrecen una visión directa de cómo se comporta la luz dentro de la cavidad de Fabry-Pérot. En lugar de simplemente atravesar la estructura una sola vez, la onda óptica se refleja repetidamente entre los dos espejos, que reflejan parcialmente la luz. Estas múltiples reflexiones interfieren entre sí y forman patrones de onda estacionaria dentro de la cavidad.

Los máximos y mínimos alternados que se observan en las distribuciones de densidad de fotones corresponden a la estructura de onda estacionaria del campo óptico. Las regiones de alta densidad de fotones son antinodos de la onda estacionaria, donde la oscilación del campo eléctrico es intensa, mientras que los mínimos corresponden aproximadamente a nodos de la onda estacionaria, donde la interferencia destructiva atenúa el campo.

En ??, el patrón de onda estacionaria se concentra fuertemente cerca del lado izquierdo de la cavidad. La estrecha zona de alta intensidad cerca de la interfaz indica que el campo óptico se refleja y se confina fuertemente cerca del espejo. Al desplazarse a lo largo de la cavidad, el campo oscila y se redistribuye gradualmente por toda la estructura. En ??, el campo óptico se distribuye de manera mucho más uniforme en toda la región de la cavidad. A esta longitud de onda, la cavidad se acerca más a una condición de resonancia, lo que permite que las ondas reflejadas se refuercen mutuamente de manera más eficiente. En lugar de concentrarse cerca de una única interfaz, la energía óptica se acumula en toda la cavidad, produciendo el amplio patrón de onda estacionaria visible en la figura.

En ??, el espaciamiento de la onda estacionaria aumenta porque la longitud de onda óptica dentro de la cavidad se ha incrementado. El campo se extiende de manera uniforme por casi toda la cavidad, al tiempo que sigue mostrando el comportamiento oscilatorio característico producido por la interferencia entre las ondas que se propagan en dirección directa e inversa. Las transiciones verticales abruptas que se observan cerca de las interfaces de la cavidad se deben a los cambios en el índice de refracción entre las capas adyacentes. En estos límites, el campo electromagnético debe cumplir las condiciones de contorno de Maxwell, lo que provoca que las amplitudes de las ondas que se propagan en dirección directa e inversa se ajusten repentinamente en las interfaces.

Estas cifras ilustran una de las ideas físicas fundamentales que subyacen a las cavidades de Fabry-Pérot: la cavidad solo almacena la luz de manera eficiente en ciertas longitudes de onda. Cuando se cumple la condición de fase óptica, las ondas reflejadas se refuerzan mutuamente y se forma un modo de onda estacionaria estable dentro de la estructura. En longitudes de onda no resonantes, esta interferencia constructiva no se produce, por lo que la acumulación del campo óptico se debilita considerablemente y una mayor parte de la luz incidente se refleja, alejándola de la cavidad.

7. Modificación del contraste del índice de refracción.

La intensidad de la resonancia de la cavidad depende en gran medida de la reflectividad de los espejos. En las cavidades de Fabry-Pérot dieléctricas, esta reflectividad se controla principalmente mediante el contraste del índice de refracción.

Abra el editor de capas y reduzca el índice de refracción del espejo de \(n=3\) a \(n=1.5\), como se muestra en ??.

Tras volver a ejecutar la simulación, los espectros de reflexión y transmisión se corresponden con los que se muestran en ?? y ??.

Cuando se reduce el contraste del índice de refracción, los espejos se convierten en reflectores menos eficaces. Esto disminuye la cantidad de luz que queda atrapada dentro de la cavidad y amplía las características de resonancia.

Desde el punto de vista físico, esto se corresponde con una reducción en el factor de calidad de la cavidad (factor Q). Los espejos de alta reflectividad producen resonancias estrechas con una gran acumulación de campo, mientras que los espejos de baja reflectividad producen resonancias más amplias y menos pronunciadas.