Моделювання резонатора Фабрі-Перо за допомогою методу матриці передачі (ММП).

1. Вступ

Резонатор Фабрі-Перо — це оптична структура, яка утворюється, коли світло утримується між двома частково відбивальними межами. Множинні відбиття всередині резонатора призводять до інтерференції оптичних хвиль, що створює стоячі хвилі на певних довжинах хвиль. Довжини хвиль, які відповідають умові резонаンスу резонатора, характеризуються посиленою пропускною здатністю та сильним накопиченням оптичного поля всередині структури.

Резонатори Фабрі-Перо широко використовуються в оптичних фільтрах, діелектричних дзеркалах, інтерферометрах, світлодіодах і лазерних резонаторах. У цьому навчальному посібнику ми моделюємо просту одномірну структуру Фабрі-Перо, використовуючи метод матриці передачі.

На відміну від методу FDTD, який чисельно розповсюджує електромагнітне поле в просторі та часі, метод передаточних матриць передбачає одновимірну шарувату структуру та аналітично розв’язує рівняння для оптичних полів у кожному шарі. Електромагнітне поле представляється як суперпозиція прямо- і зворотньо поширених хвиль, причому поля пов’язані на межах шарів за допомогою граничних умов Максвелла. Для плоских багатошарових систем це значно зменшує обчислювальну складність, що робить метод передаточних матриць надзвичайно ефективним для аналізу резонансів у резонаторах і інтерференційних ефектів у тонких плівках. Повне обґрунтування методу передаточних матриць наведено в Теорія передаточних матриць.

За умови нормального падіння променів, умова резонансу Фабри-Перо виглядає так:

\(2nL = m\lambda\)

де \(n\) – показник заломлення всередині резонатора, \(L\) – довжина резонатора, \(\lambda\) – довжина хвилі, а \(m\) – ціле число, що визначає номер мода.

Перестановка змінює допустимі довжини хвиль у порожнині:

\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)

Це означає, що лише окремі резонансні довжини хвиль ефективно передаються крізь порожнину. У цьому навчальному посібнику ми безпосередньо спостерігатимемо ці резонанси в спектрах передачі та відбиття, а також візуалізуємо щільність фотонів стоячої хвилі всередині порожнини.

2. Створення нової моделі.

Відкрийте вікно нової симуляції та виберіть категорію «Метод матриці передачі» (??). Потім виберіть приклад резонатора Фабрі-Перо (??).

Після відкриття прикладу з’являється основний інтерфейс, як показано на ??. Моделювання складається з простої оптичної резонаторної камери, утвореної двома частково відбиваючими шарами, розділеними повітряним проміжком.

Ця порожнина складається з двох тонких діелектричних шарів із показником заломлення \(n=3\), розділених повітряним проміжком. Ці два шари з високим показником заломлення діють як частково відбиваючі дзеркала.

Коли широкосмугове світло потрапляє всередину структури, між дзеркалами відбувається багатократне відбиття. За довжин хвиль, які відповідають умові резонансу резонатора, відбиті хвилі конструктивно інтерферують, що призводить до посилення поля всередині резонатора та збільшення інтенсивності проходження світла крізь структуру.

3. Запуск оптичного моделювання.

Відкрийте вкладку «Оптика» (??) і натисніть кнопку «Матриця передачі». Це активує програму для розв’язання задач оптичної матриці передачі.

Метод матриці передачі обчислює розподіл оптичного поля, спектр відбиття, спектр пропускання та щільність поглинених фотонів у всій багатошаровій структурі. Оскільки цей метод працює безпосередньо в частотній області, моделювання зазвичай завершується лише за кілька секунд.

Після завершення моделювання з’являється карта щільності фотонів, показана на ??. Горизонтальна вісь відображає положення всередині порожнини, а вертикальна вісь – довжину хвилі.

Яскраві ділянки вказують на довжини хвиль, на яких оптичне поле значно посилюється всередині структури. Найбільш виражена особливість спостерігається в районі 450–500 нм, що відповідає основній резонансній частоті Фабрі-Перо в резонаторі.

Коливальна просторова структура, яку можна побачити на графіку, являє собою картину стоячої хвилі, що утворюється внаслідок інтерференції між хвилями, які поширюються в прямому та зворотному напрямках усередині резонатора.

4. Спектри відбиття та пропускання

Програма для розв’язання задач за допомогою матриці передачі також обчислює відбиту та пропущену оптичну потужність. Ці результати наведено в ?? і ??.

Резонанс у порожнині проявляється як виражене зниження в спектрі відбиття та відповідний пік у спектрі пропускання. Фізично це відбувається тому, що порожнина ефективно накопичує оптичну енергію на резонансній довжині хвилі, дозволяючи світлу проходити крізь структуру, а не відбиватися від неї.

У цій структурі відстань між резонаторами становить приблизно 250 нм, а показник заломлення резонатора близький до 1. Відповідно, умова резонансу передбачає наявність основної моди поблизу значення.

\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)

що узгоджується зі спектрами, наведеними вище.

5. Зміна довжини порожнини.

Відкрийте редактор шарів, який показано на ??. Поглиблення утворюється двома тонкими діелектричними шарами, розділеними повітряним проміжком.

У початковій структурі товщина порожнини становить приблизно 260 нм. Збільште її до 300 нм, як показано на ??, а потім повторіть оптичне моделювання.

Після повторного запуску моделювання отримуємо спектри, зображені на ?? і ??.

Збільшення довжини резонатора призводить до зміщення резонансу в бік більших довжин хвиль. Це безпосередньо випливає з умови Фабрі-Перо:

\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)

Оскільки резонансна довжина хвилі пропорційна довжині резонатора, збільшення \(L\) призводить до того, що максимум пропускання систематично зміщується у бік більших довжин хвиль.

Вам також слід звернути увагу на додаткові, менш виражені резонанси, які відповідають вищим порядкам коливань у резонаторі (\(m=2,3,\dots\)).

6. Перегляд знімків розподілу щільності фотонів.

Поверніться до вкладки «Результат», зображеної на ??. Відкрийте каталог optical_snapshots, щоб переглянути розподіл щільності фотонів для окремих довжин хвиль.

Програма для перегляду знімків дозволяє досліджувати розподіл оптичного поля на певних довжинах хвиль у всій структурі резонатора. На відміну від попередніх карт, що показують залежність довжини хвилі від положення, ці знімки надають пряме зображення просторової картини стоячої хвилі, яка утворюється всередині резонатора на одній конкретній довжині хвилі.

Приклади розподілу щільності фотонів наведено на ??–??.

На цих графіках показано просторовий розподіл щільності фотонів усередині резонатора Фабрі-Перо. Коливальна поведінка виникає внаслідок інтерференції між оптичними хвилями, що поширюються у прямому та зворотному напрямках і відбиваються від двох дзеркал резонатора. Області з високою щільністю фотонів відповідають антинодам стоячої хвилі, тоді як мінімуми приблизно відповідають вузлам стоячої хвилі.

Знімки щільності фотонів, наведені в ??–??, дають змогу безпосередньо спостерігати за тим, як поводиться світло всередині резонатора Фабрі–Перо. Замість того, щоб просто один раз пройти крізь структуру, оптична хвиля багаторазово відбивається між двома частково відбиваючими дзеркалами. Ці численні відбиття взаємодіють між собою, утворюючи стаціонарні хвильові структури всередині резонатора.

Чергування піків і западин, які видно на графіках розподілу щільності фотонів, відповідає структурі стаціонарної хвилі оптичного поля. Області з високою щільністю фотонів є антивузлами стаціонарної хвилі, де амплітуда коливань електричного поля велика, тоді як мінімуми приблизно відповідають вузлам стаціонарної хвилі, де деструктивна інтерференція послаблює поле.

На рисунку ?? видно, що картина стоячої хвилі значною мірою сконцентрована біля лівої сторони резонатора. Вузька область високої інтенсивності поблизу межі вказує на те, що оптичне поле сильно відбивається і локалізується поблизу дзеркала. Переміщуючись по резонатору, поле коливається і поступово перерозподіляється по всій структурі. На рисунку ?? видно, що оптичне поле розподіляється набагато рівномірніше по всій області резонатора. При цій довжині хвилі резонатор наближається до резонансного стану, що дозволяє відбитим хвилям ефективніше підсилювати одна одну. Замість того, щоб бути сконцентрованою біля однієї межі, оптична енергія накопичується по всьому резонатору, утворюючи широку картину стоячої хвилі, яку можна побачити на рисунку.

У ?? відстань між стоячими хвилями збільшується, оскільки оптична довжина хвилі всередині резонатора зростає. Поле плавно поширюється майже по всьому об’єму резонатора, при цьому зберігаючи характерну коливну поведінку, яка виникає внаслідок інтерференції між хвилями, що поширюються в прямому та зворотному напрямках. Різкі вертикальні переходи, видимі поблизу меж резонатора, виникають через зміни показника заломлення між сусідніми шарами. На цих межах електромагнітне поле має відповідати граничним умовам Максвелла, що призводить до різкої зміни амплітуд хвиль, що поширюються в прямому та зворотному напрямках, на межах.

Ці дані ілюструють одну з ключових фізичних концепцій, що лежать в основі резонаторів Фабрі-Перо: резонатор ефективно накопичує світло лише на певних довжинах хвиль. Коли виконується умова оптичної фази, відбиті хвилі підсилюють одна одну, і всередині структури формується стабільна стояча хвиля. На нерезонансних довжинах хвиль ця конструктивна інтерференція не відбувається, тому накопичення оптичного поля стає значно слабшим, і більша частина падаючого світла відбивається від резонатора.

7. Зміна різниці показників заломлення

Інтенсивність резонансу в порожнині значною мірою залежить від відбивної здатності дзеркал. У діелектричних резонаторах Фабрі-Перо ця відбивна здатність в основному визначається різницею показників заломлення.

Відкрийте редактор шарів і зменште показник заломлення дзеркала від \(n=3\) до \(n=1.5\), як показано на ??.

Після повторного запуску моделювання спектри відбиття та пропускання набувають значень, показаних на ?? і ??.

Коли різниця показників заломлення зменшується, відбивна здатність дзеркал знижується. Це зменшує кількість світла, яке утримується всередині резонатора, і розширює діапазон резонансних характеристик.

З фізичної точки зору, це відповідає зменшенню коефіцієнта якості резонатора (Q-фактора). Сильні дзеркала створюють вузькі резонанси з інтенсивним накопиченням поля, тоді як слабкі дзеркала створюють ширші та менш виражені резонанси.