Προσομοίωση κοιλότητας Fabry-Pérot χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μήτρας μεταφοράς (TMM).

1. Εισαγωγή

Μια κοιλότητα Fabry-Pérot είναι μια συντονισμένη οπτική δομή που σχηματίζεται όταν το φως περιορίζεται μεταξύ δύο μερικώς ανακλαστικών ορίων. Οι πολλαπλές ανακλάσεις στο εσωτερικό της κοιλότητας προκαλούν την αλληλεπίδραση των οπτικών κυμάτων μεταξύ τους, δημιουργώντας συντονισμένες αντηχήσεις σε συγκεκριμένα μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που ικανοποιούν τη συνθήκη συντονισμού της κοιλότητας παρουσιάζουν αυξημένη μετάδοση και ισχυρή ενίσχυση του οπτικού πεδίου στο εσωτερικό της δομής.

Οι συντονιστές Fabry-Pérot χρησιμοποιούνται ευρέως σε οπτικά φίλτρα, διηλεκτρικούς καθρέφτες, παρεμβολόμετρα, LED και κοιλότητες λέιζερ. Σε αυτό το εκπαιδευτικό υλικό, μοντελοποιούμε μια απλή μονοδιάστατη κοιλότητα Fabry-Pérot χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μήτρας μεταφοράς (TMM).

Σε αντίθεση με τη μέθοδο FDTD, η οποία υπολογίζει αριθμητικά τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στον χώρο και στον χρόνο, η μέθοδος της μεταφορικής μήτρας υποθέτει μια μονοδιάστατη στρωματοποιημένη δομή και επιλύει αναλυτικά τα οπτικά πεδία εντός κάθε στρώματος. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αναπαρίσταται ως μια υπέρθεση προωθημένων και οπισθοδρομικών κυμάτων, με τα πεδία να συνδέονται στις διεπαφές χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες Maxwell. Για επίπεδα πολυστρωματικά συστήματα, αυτό μειώνει σημαντικά την υπολογιστική πολυπλοκότητα, καθιστώντας τη TMM εξαιρετικά αποδοτική για την ανάλυση συντονισμών κοιλοτήτων και φαινομένων συμβολής λεπτών υμενίων. Μια πλήρης παράγωγη της μεθόδου της μεταφορικής μήτρας δίνεται στο Θεωρία της μεταφορικής μήτρας.

Σε περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης, η συνθήκη συντονισμού του Fabry-Pérot είναι:

\(2nL = m\lambda\)

όπου \(n\) είναι ο δείκτης διάθλασης εντός της κοιλότητας, \(L\) είναι το μήκος της κοιλότητας, \(\lambda\) είναι το μήκος κύματος και \(m\) είναι ένας ακέραιος αριθμός που αντιστοιχεί στην αριθμητική διάταξη.

Η αναδιάταξη δίνει τα επιτρεπτά μήκη κύματος της κοιλότητας:

\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)

Αυτό σημαίνει ότι μόνο συγκεκριμένα, διακριτά μήκη κύματος συντονισμού μεταδίδονται αποτελεσματικά μέσω της κοιλότητας. Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, θα παρατηρήσουμε άμεσα αυτές τις συντονιστικές συχνότητες στα φάσματα μετάδοσης και ανάκλασης, και επίσης θα απεικονίσουμε την πυκνότητα των φωτονίων σταθερού κύματος μέσα στην κοιλότητα.

2. Δημιουργία μιας νέας προσομοίωσης.

Ανοίξτε το παράθυρο της νέας προσομοίωσης και επιλέξτε την κατηγορία της μεθόδου της μεταφορικής μήτρας (??). Στη συνέχεια, επιλέξτε το παράδειγμα της κοιλότητας Fabry-Pérot (??).

Αφού ανοίξετε το παράδειγμα, εμφανίζεται η κύρια διεπαφή, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Η προσομοίωση αποτελείται από μια απλή οπτική κοιλότητα, η οποία σχηματίζεται από δύο μερικώς ανακλαστικές στρώσεις που διαχωρίζονται από ένα κενό αέρα.

Η κοιλότητα αποτελείται από δύο λεπτές διηλεκτρικές στρώσεις με δείκτη διάθλασης \(n=3\), οι οποίες διαχωρίζονται από μια περιοχή αέρα. Αυτές οι δύο στρώσεις με υψηλό δείκτη διάθλασης λειτουργούν ως μερικώς ανακλαστικοί καθρέφτες.

Όταν η ευρυζωνική ακτινοβολία εισέρχεται στη δομή, συμβαίνουν πολλαπλές ανακλάσεις μεταξύ των καθρεπτών. Στα μήκη κύματος που ικανοποιούν τη συνθήκη συντονισμού της κοιλότητας, τα ανακλώμενα κύματα παρεμβάλλονται εποικοδομητικά, δημιουργώντας ενισχυμένη συσσώρευση πεδίου μέσα στην κοιλότητα και αυξημένη μετάδοση μέσω της δομής.

3. Εκτέλεση της οπτικής προσομοίωσης.

Ανοίξτε την καρτέλα "Οπτικά" (??) και κάντε κλικ στο κουμπί "Μεταφορά Μήτρας". Αυτό θα εκκινήσει τον επιλυτή οπτικής μήτρας μεταφοράς.

Η μέθοδος της μήτρας μεταφοράς υπολογίζει την κατανομή του οπτικού πεδίου, το φάσμα ανάκλασης, το φάσμα μετάδοσης και την πυκνότητα των απορροφημένων φωτονίων σε όλη την πολυεπίπεδη δομή. Επειδή αυτή η μέθοδος λειτουργεί απευθείας στον τομέα της συχνότητας, οι προσομοιώσεις συνήθως ολοκληρώνονται σε λίγα δευτερόλεπτα.

Μετά την ολοκλήρωση της προσομοίωσης, εμφανίζεται ο χάρτης της πυκνότητας των φωτονίων που απεικονίζεται στην εικόνα ??. Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στη θέση εντός της κοιλότητας, ενώ ο κάθετος άξονας αντιστοιχεί στο μήκος κύματος.

Οι φωτεινές περιοχές υποδεικνύουν τα μήκη κύματος στα οποία το οπτικό πεδίο ενισχύεται σημαντικά στο εσωτερικό της δομής. Το πιο εμφανές χαρακτηριστικό εμφανίζεται κοντά στα 450-500 nm, το οποίο αντιστοιχεί στη θεμελιώδη συντονιστική συχνότητα Fabry-Pérot της κοιλότητας.

Η ταλαντευόμενη χωρική δομή που φαίνεται στο διάγραμμα είναι το πρότυπο σταθερού κύματος που σχηματίζεται από την επικάλυψη των κυμάτων που κινούνται προς τα εμπρός και προς τα πίσω μέσα στην κοιλότητα.

4. Φάσματα ανάκλασης και μετάδοσης

Ο επιλυτής της μήτρας μεταφοράς υπολογίζει επίσης την ανακλώμενη και τη διαπερατή οπτική ισχύ. Αυτά τα αποτελέσματα εμφανίζονται στις εικόνες ?? και ??.

Η συντονιστική συντήρηση εμφανίζεται ως μια έντονη μείωση στο φάσμα ανάκλασης και μια αντίστοιχη κορυφή στο φάσμα μετάδοσης. Φυσικά, αυτό συμβαίνει επειδή η κοιλότητα αποθηκεύει αποτελεσματικά την οπτική ενέργεια στο συντονιστικό μήκος κύματος, επιτρέποντας στο φως να περάσει μέσα από τη δομή αντί να ανακλάται.

Σε αυτή τη δομή, η απόσταση μεταξύ των κοιλοτήτων είναι περίπου 250 nm και ο δείκτης διάθλασης της κοιλότητας είναι κοντά στο 1. Επομένως, η συνθήκη συντονισμού προβλέπει μια θεμελιώδη συχνότητα κοντά στο

\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)

το οποίο είναι σύμφωνο με τα φάσματα που παρατηρήθηκαν παραπάνω.

5. Αλλαγή του μήκους της κοιλότητας.

Ανοίξτε τον επεξεργαστή επιπέδων που εμφανίζεται στην ??. Η κοιλότητα σχηματίζεται από δύο λεπτά διηλεκτρικά στρώματα που διαχωρίζονται από ένα κενό αέρα.

Στην αρχική δομή, το πάχος της κοιλότητας είναι περίπου 260 nm. Αυξήστε το σε 300 nm, όπως φαίνεται στο ??και στη συνέχεια εκτελέστε ξανά την οπτική προσομοίωση.

Μετά την επανάληψη της προσομοίωσης, λαμβάνονται τα φάσματα που εμφανίζονται στις εικόνες ?? και ??.

Η αύξηση του μήκους της κοιλότητας μετατοπίζει τη συντονιστική συχνότητα προς μεγαλύτερα μήκη κύματος. Αυτό προκύπτει άμεσα από τη συνθήκη Fabry-Pérot:

\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)

Εφόσον το μήκος κύματος συντονισμού είναι ανάλογο του μήκους της κοιλότητας, η αύξηση του \(L\) προκαλεί τη συστηματική μετατόπιση της κορυφής της μετάδοσης προς μεγαλύτερα μήκη κύματος.

Θα πρέπει επίσης να παρατηρήσετε επιπλέον, ασθενέστερες συντονιστικές συχνότητες που αντιστοιχούν σε ανώτερες διατάξεις συντονισμού της κοιλότητας (\(m=2,3,\dots\)).

6. Προβολή στιγμιότυπων της πυκνότητας φωτονίων.

Επιστρέψτε στην καρτέλα "Έξοδος" που εμφανίζεται στην εικόνα ??. Ανοίξτε τον φάκελο optical_snapshots για να εξετάσετε την κατανομή της πυκνότητας των φωτονίων σε κάθε μήκος κύματος.

Η εφαρμογή προβολής στιγμιότυπων επιτρέπει την εξέταση της κατανομής του οπτικού πεδίου σε συγκεκριμένα μήκη κύματος σε όλη τη δομή της κοιλότητας. Σε αντίθεση με τους χάρτες μήκους κύματος-θέσης που παρουσιάστηκαν προηγουμένως, αυτά τα στιγμιότυπα παρέχουν μια άμεση απεικόνιση του στατικού μοτίβου κύματος που σχηματίζεται στο εσωτερικό της κοιλότητας σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος.

Παραδείγματα κατανομών της πυκνότητας φωτονίων παρουσιάζονται στις εικόνες ??–??.

Αυτά τα διαγράμματα απεικονίζουν την χωρική κατανομή της πυκνότητας των φωτονίων εντός της κοιλότητας Fabry-Pérot. Η ταλαντευόμενη συμπεριφορά προκύπτει από την συμβολή των οπτικών κυμάτων που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω και ανακλώνται από τους δύο καθρέφτες της κοιλότητας. Οι περιοχές με υψηλή πυκνότητα φωτονίων αντιστοιχούν στα αντι-κόμβους των στάσιμων κυμάτων, ενώ τα ελάχιστα αντιστοιχούν κατά προσέγγιση στους κόμβους των στάσιμων κυμάτων.

Οι στιγμιότυπα της πυκνότητας φωτονίων που παρουσιάζονται στα ??-?? παρέχουν μια άμεση εικόνα του τρόπου με τον οποίο συμπεριφέρεται το φως μέσα στην κοιλότητα Fabry-Pérot. Αντί να διαπερνά απλώς τη δομή μία φορά, το οπτικό κύμα ανακλάται επανειλημμένα μεταξύ των δύο μερικώς ανακλαστικών κατόπτρων. Αυτές οι πολλαπλές ανακλάσεις παρεμβαίνουν μεταξύ τους και σχηματίζουν μοτίβα σταθερών κυμάτων μέσα στην κοιλότητα.

Οι εναλλασσόμενες κορυφές και οι κοιλάδες που παρατηρούνται στις κατανομές της πυκνότητας των φωτονίων αντιστοιχούν στη δομή του σταθερού κύματος του οπτικού πεδίου. Οι περιοχές υψηλής πυκνότητας φωτονίων είναι σταθερά αντι-κόμβοι κύματος, όπου η ταλάντωση του ηλεκτρικού πεδίου είναι μεγάλη, ενώ τα ελάχιστα αντιστοιχούν κατά προσέγγιση σε σταθερούς κόμβους κύματος, όπου η καταστροφική συμβολή καταστέλλει το πεδίο.

Στο ??, το πρότυπο του στάσιμου κύματος είναι έντονα συγκεντρωμένο κοντά στην αριστερή πλευρά της κοιλότητας. Η στενή περιοχή υψηλής έντασης κοντά στην επιφάνεια υποδεικνύει ότι το οπτικό πεδίο ανακλάται έντονα και περιορίζεται κοντά στον καθρέφτη. Καθώς κινούμαστε κατά μήκος της κοιλότητας, το πεδίο ταλαντώνεται και σταδιακά αναδιανέμεται σε όλη τη δομή. Στο ??, το οπτικό πεδίο κατανέμεται πολύ πιο ομοιόμορφα σε όλη την περιοχή της κοιλότητας. Σε αυτό το μήκος κύματος, η κοιλότητα είναι πιο κοντά σε μια συνθήκη συντονισμού, επιτρέποντας στα ανακλώμενα κύματα να ενισχύουν το ένα το άλλο πιο αποτελεσματικά. Αντί να συγκεντρώνεται κοντά σε μια μόνο επιφάνεια, η οπτική ενέργεια συσσωρεύεται σε όλη την κοιλότητα, δημιουργώντας το ευρύ πρότυπο του στάσιμου κύματος που φαίνεται στην εικόνα.

Στο ??, η απόσταση μεταξύ των σταθερών κυμάτων αυξάνεται επειδή το οπτικό μήκος κύματος εντός της κοιλότητας έχει αυξηθεί. Το πεδίο εκτείνεται ομαλά σε σχεδόν ολόκληρη την κοιλότητα, διατηρώντας παράλληλα τη χαρακτηριστική ταλαντευτική συμπεριφορά που προκαλείται από την συμβολή των κυμάτων που κινούνται προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Οι απότομες κάθετες μεταβάσεις που παρατηρούνται κοντά στις διεπαφές της κοιλότητας προέρχονται από αλλαγές στον δείκτη διάθλασης μεταξύ των παρακείμενων στρωμάτων. Σε αυτά τα όρια, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο πρέπει να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες Maxwell, προκαλώντας τις απότομες αλλαγές στα πλάτη των κυμάτων που κινούνται προς τα εμπρός και προς τα πίσω στις διεπαφές.

Αυτά τα διαγράμματα απεικονίζουν μία από τις βασικές φυσικές αρχές που διέπουν τις κοιλότητες Fabry-Pérot: η κοιλότητα αποθηκεύει αποτελεσματικά το φως μόνο σε συγκεκριμένα μήκη κύματος. Όταν ικανοποιείται η οπτική συνθήκη φάσης, τα ανακλώμενα κύματα ενισχύουν το ένα το άλλο και σχηματίζεται μια σταθερή διαμορφή σταθερού κύματος μέσα στη δομή. Σε μη συντονισμένα μήκη κύματος, αυτή η εποικοδομητική συμβολή δεν συμβαίνει, επομένως η ενίσχυση του οπτικού πεδίου γίνεται πολύ ασθενέστερη και μεγαλύτερο μέρος του προσπίπτοντος φωτός ανακλάται μακριά από την κοιλότητα.

7. Αλλαγή της αντίθεσης του δείκτη διάθλασης.

Η ένταση της συντονιστικής αντήχησης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την ανακλαστικότητα των κατόπτρων. Στις διηλεκτρικές κοιλότητες Fabry-Pérot, αυτή η ανακλαστικότητα ελέγχεται κυρίως από την αντίθεση του δείκτη διάθλασης.

Ανοίξτε τον επεξεργαστή στρώσεων και μειώστε τον δείκτη διάθλασης του καθρέφτη από \(n=3\) σε \(n=1.5\), όπως φαίνεται στην εικόνα ??.

Αφού εκτελέσαμε ξανά την προσομοίωση, τα φάσματα ανάκλασης και μετάδοσης έγιναν αυτά που φαίνονται στις εικόνες ?? και ??.

Όταν η διαφορά στον δείκτη διάθλασης μειώνεται, οι καθρέφτες γίνονται λιγότερο αποτελεσματικοί ανακλαστήρες. Αυτό μειώνει την ποσότητα του φωτός που παγιδεύεται μέσα στην κοιλότητα και διευρύνει τα χαρακτηριστικά συντονισμού.

Σε φυσικό επίπεδο, αυτό αντιστοιχεί σε μείωση του συντελεστή ποιότητας της κοιλότητας (Q-factor). Οι ισχυροί καθρέφτες παράγουν στενές συντονιστικές συχνότητες με έντονη συσσώρευση πεδίου, ενώ οι ασθενείς καθρέφτες παράγουν ευρύτερες και λιγότερο έντονες συντονιστικές συχνότητες.