Symulacja rezonatora Fabry-Pérota z wykorzystaniem metody macierzy przenoszenia (TMM).

1. Wprowadzenie

Rezonator Fabry-Pérota to układ optyczny, w którym światło jest uwięzione pomiędzy dwiema częściowo odbijającymi powierzchniami. Wielokrotne odbicia wewnątrz rezonatora powodują interferencję fal świetlnych, co prowadzi do powstawania rezonansów w postaci fal stojących przy określonych długościach fal. Długości fal spełniające warunek rezonansu rezonatora charakteryzują się zwiększoną transmisją i silnym wzrostem pola optycznego wewnątrz układu.

Rezonatory Fabry-Pérota są powszechnie stosowane w filtrach optycznych, lustrach dielektrycznych, interferometrach, diodach LED i rezonatorach laserowych. W tym samouczku modelujemy prosty jednowymiarowy rezonator Fabry-Pérota, wykorzystując metodę macierzy przenoszenia (TMM).

W przeciwieństwie do metody FDTD, która numerycznie oblicza rozprzestrzenianie się pola elektromagnetycznego w przestrzeni i czasie, metoda macierzy przenoszenia zakłada jednowymiarową strukturę warstwową i analitycznie rozwiązuje równania dla pól optycznych w każdej warstwie. Pole elektromagnetyczne jest przedstawiane jako superpozycja fal rozchodzących się w kierunku do przodu i do tyłu, a pola są połączone na granicach między warstwami za pomocą warunków brzegowych Maxwella. W przypadku płaskich układów wielowarstwowych metoda ta znacznie zmniejsza złożoność obliczeniową, dzięki czemu metoda macierzy przenoszenia jest niezwykle wydajna w analizie rezonansów w rezonatorach i efektów interferencji cienkich warstw. Pełne wyprowadzenie metody macierzy przenoszenia znajduje się w Teoria macierzy przenoszenia.

Przy padaniu promieni pod kątem prostym, warunek rezonansu dla interferometru Fabry-Pérota ma postać:

\(2nL = m\lambda\)

gdzie \(n\) oznacza współczynnik załamania wewnątrz rezonatora, \(L\) – długość rezonatora, \(\lambda\) – długość fali, a \(m\) – liczbę całkowitą określającą dany mod.

Przesunięcie powoduje zmianę dopuszczalnych długości fal w przestrzeni:

\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)

Oznacza to, że tylko określone, dyskretne długości fal rezonansowych są efektywnie transmitowane przez rezonator. W tym samouczku bezpośrednio zaobserwujemy te rezonanse w widmach transmisji i odbicia, a także zobrazujemy rozkład gęstości fotonów w postaci fali stojącej wewnątrz rezonatora.

2. Tworzenie nowej symulacji.

Otwórz okno nowej symulacji i wybierz kategorię metody macierzy transferu (??). Następnie wybierz przykład rezonatora Fabry-Pérota (??).

Po otwarciu przykładowego pliku wyświetla się główny interfejs, jak pokazano na ilustracji ??. Symulacja polega na modelowaniu prostej rezonatora optycznego, składającego się z dwóch częściowo odbijających warstw oddzielonych szczeliną powietrzną.

Wnęka składa się z dwóch cienkich warstw dielektrycznych o współczynniku załamania \(n=3\), oddzielonych przestrzenią wypełnioną powietrzem. Obie te warstwy o wysokim współczynniku załamania pełnią funkcję częściowo odbijających zwiercideł.

Gdy światło o szerokim paśmie częstotliwości pada na strukturę, dochodzi do wielokrotnych odbić między lustrami. Przy długościach fal spełniających warunek rezonansu wewnątrz rezonatora, odbite fale interferują ze sobą w sposób konstruktywny, co prowadzi do wzmocnienia pola wewnątrz rezonatora i zwiększenia transmisji przez strukturę.

3. Uruchamianie symulacji optycznej.

Otwórz pasek narzędzi „Optyka” (??) i kliknij przycisk „Macierz transferu”. Spowoduje to uruchomienie narzędzia do rozwiązywania problemów związanych z macierzą transferu optycznego.

Metoda macierzy przenoszenia oblicza rozkład pola optycznego, widmo odbicia, widmo transmisji oraz gęstość pochłoniętych fotonów w całej warstwowej strukturze. Ponieważ metoda ta działa bezpośrednio w dziedzinie częstotliwości, symulacje zazwyczaj kończą się w ciągu kilku sekund.

Po zakończeniu symulacji wyświetlana jest mapa gęstości fotonów, jak pokazano na ilustracji ??. Oś pozioma odpowiada położeniu wewnątrz wnęki, a oś pionowa – długości fali.

Jasne obszary wskazują na długości fal, dla których pole optyczne silnie wzmacnia się wewnątrz struktury. Najbardziej wyraźna cecha występuje w pobliżu 450–500 nm, co odpowiada podstawowej rezonancji Fabry-Pérota wewnątrz rezonatora.

Widoczna na wykresie oscylująca struktura przestrzenna to wzór fali stojącej, powstający w wyniku interferencji fal rozchodzących się w przód i w tył wewnątrz rezonatora.

4. Widma odbicia i transmisji

Rozwiązujący macierz transferu oblicza również moc promieniowania optycznego odbitego i przepuszczonego. Wyniki te przedstawiono w ?? i ??.

Rezonans wewnątrz wnęki objawia się wyraźnym spadkiem w spektrum odbicia oraz odpowiadającym mu wzrostem w spektrum transmisji. Z punktu widzenia fizyki, zjawisko to występuje, ponieważ wnęka efektywnie magazynuje energię optyczną przy rezonansowej długości fali, umożliwiając przechodzenie światła przez strukturę zamiast jego odbijania.

W tej strukturze odległość między rezonatorami wynosi około 250 nm, a współczynnik załamania rezonatora jest zbliżony do 1. Zatem warunek rezonansu przewiduje wystąpienie podstawowego modu w pobliżu...

\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)

co jest zgodne z wcześniej opisanymi widmami.

5. Zmiana długości przestrzeni rezonansowej.

Otwórz edytor warstw, który jest wyświetlany po naciśnięciu ??. Wnęka powstaje w wyniku połączenia dwóch cienkich warstw dielektrycznych, oddzielonych szczeliną powietrzną.

W pierwotnej strukturze grubość warstwy wynosi około 260 nm. Zwiększ tę wartość do 300 nm, zgodnie z ilustracją ??, a następnie ponownie uruchom symulację optyczną.

Po ponownym uruchomieniu symulacji uzyskano widma przedstawione na rysunkach ?? i ??.

Zwiększenie długości rezonatora powoduje przesunięcie rezonansu w kierunku dłuższych długości fal. Wynika to bezpośrednio z warunku Fabry-Pérota:

\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)

Ponieważ długość fali rezonansowej jest proporcjonalna do długości rezonatora, zwiększenie wartości \(L\) powoduje systematyczny przesuw w kierunku dłuższych fal szczytu transmisji.

Należy również zwrócić uwagę na dodatkowe, słabsze rezonanse, które odpowiadają rezonansom wyższych rzędów wewnątrz rezonatora (\(m=2,3,\dots\)).

6. Przeglądanie migawek przedstawiających rozkład gęstości fotonów.

Wróć do zakładki „Wyniki”, którą można zobaczyć, naciskając ??. Otwórz katalog optical_snapshots, aby sprawdzić rozkład gęstości fotonów dla poszczególnych długości fal.

Oprogramowanie do przeglądania obrazów pozwala na analizę rozkładu pola optycznego przy określonych długościach fal w całej strukturze rezonatora. W przeciwieństwie do wcześniej prezentowanych map długości fali w funkcji położenia, te obrazy zapewniają bezpośredni widok wzoru fali stojącej, który powstaje wewnątrz rezonatora przy jednej, określonej długości fali.

Przykładowe rozkłady gęstości fotonów przedstawiono na rysunkach ??–??.

Na przedstawionych wykresach można zobaczyć rozkład gęstości fotonów w przestrzeni wewnątrz rezonatora Fabry-Pérota. Obserwowana zmienność wynika z interferencji między falami optycznymi rozchodzącymi się w kierunku do przodu i do tyłu, które są odbijane przez dwa lustra rezonatora. Obszary o wysokiej gęstości fotonów odpowiadają węzłom fal stojących, natomiast minima odpowiadają w przybliżeniu węzłom fal stojących.

Przedstawione na ilustracjach ??–?? zdjęcia rozkładu fotonów pozwalają bezpośrednio obserwować, jak światło zachowuje się wewnątrz rezonatora Fabry-Pérota. Zamiast po prostu przechodzić przez strukturę raz, fala świetlna wielokrotnie odbija się od dwóch częściowo odbijających zwiercideł. Te wielokrotne odbicia interferują ze sobą, tworząc wewnątrz rezonatora wzory fal stojących.

Naprzemienne szczyty i doliny widoczne na wykresach rozkładu gęstości fotonów odpowiadają strukturze fali stojącej pola optycznego. Obszary o wysokiej gęstości fotonów to węzły fali stojącej, w których amplituda oscylacji pola elektrycznego jest duża, natomiast minima odpowiadają w przybliżeniu węzłom fali stojącej, w których interferencja destrukcyjna tłumi pole.

Na ilustracji ?? widać, że wzór fali stojącej jest wyraźnie skoncentrowany w lewej części rezonatora. Wąski obszar o wysokiej intensywności w pobliżu granicy wskazuje, że pole optyczne jest silnie odbijane i ograniczone w pobliżu lustra. Przesuwając się wzdłuż rezonatora, pole oscyluje i stopniowo rozkłada się w całej strukturze. Na ilustracji ?? widać, że pole optyczne jest znacznie bardziej równomiernie rozłożone w obszarze rezonatora. Przy tej długości fali rezonator jest bliżej warunków rezonansowych, co pozwala na bardziej efektywne wzajemne wzmacnianie się odbitych fal. Zamiast koncentrować się w pobliżu pojedynczej granicy, energia optyczna gromadzi się w całym rezonatorze, tworząc szeroki wzór fali stojącej, widoczny na ilustracji.

W ?? odległość między węzłami fali stojącej zwiększa się, ponieważ długość fali świetlnej wewnątrz rezonatora uległa powiększeniu. Pole rozprzestrzenia się płynnie na prawie całej powierzchni rezonatora, zachowując jednocześnie charakterystyczne oscylacyjne zachowanie, które wynika z interferencji między falami rozchodzącymi się w kierunku do przodu i do tyłu. Nagłe, pionowe zmiany widoczne w pobliżu granic rezonatora wynikają ze zmian współczynnika załamania między sąsiednimi warstwami. Na tych granicach pole elektromagnetyczne musi spełniać warunki brzegowe Maxwella, co powoduje, że amplitudy fal rozchodzących się w kierunku do przodu i do tyłu gwałtownie zmieniają się na granicach.

Te dane ilustrują jedną z kluczowych zasad fizycznych, na których opiera się działanie rezonatorów Fabry-Pérota: rezonator efektywnie magazynuje światło tylko przy określonych długościach fal. Gdy spełniony jest warunek interferencji fal, odbite fale wzmacniają się nawzajem, tworząc stabilny wzór fali stojącej wewnątrz struktury. Przy długościach fal, dla których nie występuje rezonans, to konstruktywne wzmocnienie nie ma miejsca, dlatego pole optyczne staje się znacznie słabsze, a większa część padającego światła jest odbijana od rezonatora.

7. Zmiana kontrastu współczynnika załamania światła.

Siła rezonansu wewnątrz wnęki zależy w dużym stopniu od współczynnika odbicia luster. W dielektrycznych wnękach Fabry-Pérota współczynnik ten jest przede wszystkim kontrolowany przez różnicę współczynników załamania.

Otwórz edytor warstw i zmniejsz współczynnik załamania światła dla warstwy odbijającej z wartości \(n=3\) do \(n=1.5\), zgodnie z ilustracją ??.

Po ponownym uruchomieniu symulacji, widma odbicia i transmisji przybierają wartości przedstawione na rysunkach ?? i ??.

Gdy zmniejsza się różnica współczynników załamania, lustra stają się mniej skuteczne w odbijaniu światła. Powoduje to zmniejszenie ilości światła zatrzymywanego wewnątrz rezonatora i poszerzenie charakterystycznych pasm rezonansowych.

Fizycznie, odpowiada to zmniejszeniu współczynnika jakości rezonatora (współczynnik Q). Silne lustra generują wąskie rezonanse o dużym natężeniu pola, natomiast słabe lustra generują szersze i mniej wyraźne rezonanse.