Nicht-Gleichgewichtsprozesse der Ladungsträgeranreicherung und -rekombination unter Verwendung von Shockley-Read-Hall-Fallenstellen

1. Einleitung

Viele Studierende werden zum ersten Mal im Rahmen ihrer Physikvorlesungen mit der Shockley-Read-Hall-Rekombination (SRH-Rekombination) in Berührung kommen. Sie wird oft als ein Rekombinationsmechanismus zwischen einem freien und einem eingefangenen Ladungsträger vorgestellt und durch den folgenden bekannten und vereinfachten Ausdruck zusammengefasst:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

wo:

• \(\tau_{n}\) und \(\tau_{p}\) sind die Lebensdauern der Elektronen und Löcher, die mit der Falle verbunden sind.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) ist die effektive Elektronendichte, wenn sich die Falle im Gleichgewichtszustand befindet.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) steht für die entsprechende Lochdichte.
• \(E_{t}\) ist die Energiehöhe der Ladungsträgerfalle, und \(n_{i}\) ist die Eigenkonzentration der Ladungsträger.

Diese Gleichung wurde erstmals in Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) hergeleitet und wird im Abschnitt SRH-Theorie des Handbuchs ausführlicher beschrieben.

Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass die obige Gleichung nicht die vollständige Beschreibung darstellt. Diese kompakte Form ergibt sich aus der ursprünglichen Shockley-Read-Hall-Analyse, die auf einer Reihe von vereinfachenden Annahmen basiert:

• Gleichgewichtszustand: Es wird davon ausgegangen, dass sich die Anzahl der in der Falle befindlichen Teilchen im Laufe der Zeit nicht ändert, sodass sich die Einfangs- und Emissionsraten ausgleichen.
• Einzelne Fallebene: Die Rekombination erfolgt über eine einzige, energetisch klar definierte Defektebene bei der Energie \(E_t\) innerhalb der Bandlücke.

Diese Annahmen sind für Materialien mit nur wenigen Verunreinigungen vollkommen ausreichend, da die durch Fallen unterstützte Rekombination nur eine untergeordnete Rolle spielt und ein einzelnes, diskretes Falleniveau eine angemessene Beschreibung ermöglicht. Sobald die Shockley-Read-Hall-Rekombination jedoch zum dominierenden Prozess wird, was oft bei ungeordneten Halbleitern der Fall ist, ändert sich das Bild. In solchen Systemen treten Fallen selten auf einem einzelnen Energieniveau auf, sondern bilden stattdessen eine breite Verteilung von Zuständen innerhalb der Bandlücke, was bedeutet, dass eine Beschreibung der Zustandsdichte besser geeignet ist. Darüber hinaus führt die große Anzahl besetzter Fallen zu einer erheblichen Menge an eingefangener Ladung, die nicht nur als Rekombinationskanal, sondern auch als Reservoir von Ladungsträgern wirkt, das das elektrostatische Potenzial über das gesamte Bauelement verändert. Dies bedeutet, dass die Besetzung der Fallen selbstkonsistent mit der Poisson-Gleichung behandelt werden muss und nicht als ein passiver Hintergrundprozess. Darüber hinaus verhindert die Annahme eines stationären Zustands die Beschreibung dynamischer Prozesse: In zeitaufgelösten Experimenten oder transienten Simulationen entwickelt sich die Fallenbesetzung im Laufe der Zeit, und diese Entwicklung selbst ist für die Rekombinationsdynamik von entscheidender Bedeutung. Aus diesen Gründen ist die kompakte SRH-Formel zwar ein wertvoller Ausgangspunkt, muss aber in Materialien mit hoher Fallendichte oder in Situationen, in denen nicht-gleichgewichtige Dynamik eine Rolle spielt, verallgemeinert werden.

Um diese Unterschiede zwischen dem stationären Shockley-Read-Hall-Formalismus und der umfassenderen Darstellung in der Originalarbeit richtig zu verstehen und zu berücksichtigen, müssen wir uns etwas eingehender mit der zugrunde liegenden Theorie befassen.

2. Das dynamische Modell für die SRH-Rekombinationsrate verstehen

Um wirklich zu verstehen, was das Shockley-Read-Hall-Formalismus (SRH) bedeutet, müssen wir uns genau ansehen, wie die ursprünglichen Autoren es konzipiert haben. Sie erstellten eine Geschwindigkeitsgleichung für die Besetzung eines Defektzustands innerhalb der Bandlücke des Halbleiters. Diese Geschwindigkeitsgleichung ist unten angegeben und in ?? schematisch dargestellt. Sie beschreibt, wie sich die Anzahl der Ladungsträger in einem Defekt aufgrund von Einfang- und Austrittsprozessen ändert.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

In diesem Ausdruck entsprechen die vier Terme den vier möglichen Ladungsträgerströmen, die mit einer Elektronenfalle verbunden sind. Der Term \(r_{ec}\) steht für die Einfangrate von Elektronen aus der Population freier Elektronen in die Falle, während \(r_{ee}\) die Emissionsrate von Elektronen zurück in das Leitungsband darstellt. In ähnlicher Weise ist \(r_{hc}\) die Einfangrate von Löchern in die Falle, und \(r_{he}\) ist die Emissionsrate von Löchern zurück in die Population freier Löcher. Zusammen beschreiben diese Prozesse das detaillierte Gleichgewicht des Ladungsträgerstroms in eine einzelne Falle und aus dieser heraus.

Es ist sinnvoll, diese Beiträge konzeptionell zu trennen. Die Terme für Elektronenaufnahme und -emission (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) beschreiben eine reine Ladungseinfangung, so wie man sich das typischerweise bei Fallen vorstellt, die Elektronen speichern. Die Terme für Lochaufnahme und -emission (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) beschreiben Rekombination, da sie die Annihilation oder Neuerzeugung von eingefangener Ladung durch Wechselwirkung mit der freien Lochpopulation darstellen. Der entscheidende Punkt ist hier, dass die Falle selbst tatsächlich Ladung enthält – sie ist nicht einfach nur ein mathematischer Punkt, an dem Rekombination stattfindet, sondern ein reales Reservoir von Ladungsträgern, das bei der Modellierung sowohl der Rekombination als auch der Elektrostatik des Bauelements berücksichtigt werden muss.

2. Wahrscheinlichkeit der Flucht im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit der Gefangennahme

Die Einfang- und Austrittsraten für Ladungsträger, die mit einer Falle interagieren, sind in der Tabelle unten zusammengefasst, während die entsprechenden Austrittswahrscheinlichkeiten in den darunter stehenden Gleichungen angegeben sind. Ein wesentliches Merkmal der Shockley-Read-Hall-Theorie ist die starke Abhängigkeit der Austrittswahrscheinlichkeit von der energetischen Tiefe der Falle. Ladungsträger, die in der Nähe eines Bandrandes gefangen sind, können relativ leicht entkommen, während Ladungsträger in tieferen Fallen eine viel geringere Wahrscheinlichkeit für die Emission haben. Dieses Verhalten spiegelt sich direkt in den exponentiellen Termen der Ausdrücke für die Austrittswahrscheinlichkeit wider. Im Gegensatz dazu hängt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ladungsträger in einer Falle eingefangen wird, nicht von der Fallentiefe ab; sie hängt nur davon ab, ob die Falle leer oder besetzt ist. Eine leere Falle hat eine hohe Wahrscheinlichkeit, einen sich nähernden Ladungsträger einzufangen, während eine vollständig besetzte Falle keine zusätzlichen Ladungsträger einfangen kann. Betrachtet man Tabelle 9.1, so kann man sehen, dass diese Prinzipien mathematisch in den Einfang- und Austrittsraten ausgedrückt werden. Zusammen beschreiben sie ein System, in dem Ladungsträger leicht in Fallen geraten, es zunehmend schwieriger wird, zu entkommen, wenn die Fallen energetisch tiefer liegen, und sowohl Elektronen als auch Löcher eingefangen werden können. Sobald beide Arten die gleiche Falle besetzen, kommt es auf natürliche Weise zur Rekombination.

Die Wahrscheinlichkeiten für eine Entweichung sind wie folgt definiert:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

und

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. Von einer Sicherheitslücke zu einem Denial-of-Service-Angriff

Bisher haben wir, wie in Abb. 9.1 dargestellt, das Verhalten eines einzelnen Energieniveaus für Defektelektronen (die „violette Falle“) betrachtet. In realen, ungeordneten Halbleitern wird die Rekombination jedoch selten von einem einzelnen, diskreten Zustand dominiert. Stattdessen gibt es eine Verteilung von Defektelektronen-Energieniveaus, die sich vom Leitungsband- und Valenzbandrand aus über die Bandlücke erstreckt. Das bedeutet, dass wir nicht nur Elektronenfallen, sondern auch Löcherfallen und deren jeweilige Dichten in Abhängigkeit von der Energie beschreiben müssen.

Um dies zu erreichen, wird die Konzentration der Defektstellen durch eine Zustandsdichtefunktion \(\rho(E)\) beschrieben, die in beliebiger geeigneter analytischer Form für das untersuchte Material festgelegt werden kann. In diesem Beispiel verwenden wir eine exponentielle Verteilung der Defektzustände:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

wobei \(N^{e/h}\) die Zustandsdichte am Bandrand (LUMO oder HOMO) in Einheiten von Zuständen pro eV ist und \(E_{u}^{e/h}\) die charakteristische Steigungsenergie ist, die den exponentiellen Abfall definiert. Die effektive Fallen-Dichte, die einem bestimmten Energieniveau zugeordnet ist, wird dann durch Mittelung über das Energieintervall \(\Delta E\) ermittelt, das die Falle repräsentiert:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

In der Praxis diskretisiert das Modell die Verteilung in eine endliche Anzahl von Fallebenen. Für jede Fallebene wird eine separate Geschwindigkeitsgleichung aufgestellt, wie bereits beschrieben, und ihr eine entsprechende Dichte \(N_t\) zugeordnet. In der Regel werden zwischen drei und zwanzig Fallebenen sowohl unterhalb des Leitungsbandes als auch unterhalb des Valenzbandes verwendet, wobei jede einzelne Ladung speichern kann. Die gesamte gespeicherte Ladung wird dann selbstkonsistent mit der Poisson-Gleichung gekoppelt, um sicherzustellen, dass das elektrostatische Profil des Bauelements die Besetzung der Fallen berücksichtigt.

Abschließend werden die durch Fallen unterstützten Rekombinationsterme explizit in den Gleichungen für die Ladungsträgerkontinuität aufgeführt. Beispielsweise wird die Shockley-Read-Hall-Rekombinationsrate wie folgt dargestellt:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

Dadurch werden die Einfang- und Auskopplungsraten von Elektronen und Löchern direkt mit dem Gleichgewicht der Ladungsträger in den Leitungs- und Valenzbändern in Verbindung gebracht. Auf diese Weise werden sowohl die Einfang- als auch die Rekombinationsprozesse gleichwertig beschrieben, und ihre Beiträge werden auf natürliche Weise in die Kontinuitäts- und Poisson-Gleichungen integriert, die den Betrieb der Bauelemente bestimmen.

Das Endergebnis

Das Ergebnis der Lösung des vollständigen Satzes der Shockley-Read-Hall-Gleichungen sowohl im Energie- als auch im Ortsraum über das gesamte Bauelement hinweg ist, dass wir beschreiben können, wo sich Ladungen befinden, und zwar nicht nur in Bezug auf die Position, sondern auch in Bezug auf die Energie. Dies ermöglicht es uns, die Ladungsdynamik zu erfassen, die in stark ungeordneten Materialien vorherrscht. Ein Beispiel ist in ?? dargestellt, wo wir eine J–V-Kurve unter Dunkelbedingungen simulieren, während die angelegte Vorspannung von 0 V erhöht wird. Wenn die Vorspannung steigt, werden Ladungsträger von den Kontakten injiziert und füllen allmählich die Fallezustände. Diese eingefangenen Ladungen wirken gleichzeitig als Rekombinationszentren und als Quellen für Raumladung, die das elektrostatische Potenzial über das gesamte Bauelement hinweg verändern. Ohne diese Effekte zu berücksichtigen, wird jede Bauelementsimulation unvollständig und wahrscheinlich fehlerhaft sein. Eine detaillierte Erläuterung, warum Fallezustände in solchen Modellen berücksichtigt werden müssen, finden Sie in diesem Abschnitt.