Teoria del metodo della matrice di trasferimentoTeoria del metodo della matrice di trasferimento
1. Introduzione1. Introduzione
In questa pagina, presentiamo la derivazione del metodo della matrice di trasferimento (TMM) per strutture dielettriche multistrato, come illustrato nella figura ??. Tali strutture a strati sono simili agli strati ottici presenti negli OLED, nelle celle solari a film sottile e nei rivestimenti ottici, dove lo spessore dei singoli strati è paragonabile alla lunghezza d’onda della luce, generalmente compresa tra centinaia di nanometri e diversi micron. In queste condizioni, l’interferenza ottica, la riflessione e l’assorbimento influenzano notevolmente le prestazioni del dispositivo e devono quindi essere trattate utilizzando le equazioni di Maxwell e l’ottica ondulatoria, piuttosto che la semplice ottica geometrica. Per un’introduzione più ampia al metodo della matrice di trasferimento e alle sue applicazioni nella modellazione ottica, consultare Cos’è il metodo della matrice di trasferimento?. Per una guida pratica passo dopo passo che illustra come utilizzare il modello della matrice di trasferimento ottica in OghmaNano, consultare Modello della matrice di trasferimento ottica.In questa pagina, presentiamo la derivazione del metodo della matrice di trasferimento (TMM) per strutture dielettriche multistrato, come illustrato nella figura ??. Tali strutture a strati sono simili agli strati ottici presenti negli OLED, nelle celle solari a film sottile e nei rivestimenti ottici, dove lo spessore dei singoli strati è paragonabile alla lunghezza d’onda della luce, generalmente compresa tra centinaia di nanometri e diversi micron. In queste condizioni, l’interferenza ottica, la riflessione e l’assorbimento influenzano notevolmente le prestazioni del dispositivo e devono quindi essere trattate utilizzando le equazioni di Maxwell e l’ottica ondulatoria, piuttosto che la semplice ottica geometrica. Per un’introduzione più ampia al metodo della matrice di trasferimento e alle sue applicazioni nella modellazione ottica, consultare Cos’è il metodo della matrice di trasferimento?. Per una guida pratica passo dopo passo che illustra come utilizzare il modello della matrice di trasferimento ottica in OghmaNano, consultare Modello della matrice di trasferimento ottica.
2. Derivazione2. Derivazione
Considerando l’interfaccia tra gli strati 1 e 2 nella figura ??, il campo elettrico sul lato sinistro dell’interfaccia è dato da:Considerando l’interfaccia tra gli strati 1 e 2 nella figura ??, il campo elettrico sul lato sinistro dell’interfaccia è dato da:
\begin{equation} E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{eq:efield1} \end{equation}e sul lato destro dell’interfaccia, il campo elettrico è dato da:e sul lato destro dell’interfaccia, il campo elettrico è dato da:
\begin{equation} E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{eq:efield2} \end{equation}Le equazioni di Maxwell stabiliscono la relazione tra i campi elettrico e magnetico di un’onda piana.Le equazioni di Maxwell stabiliscono la relazione tra i campi elettrico e magnetico di un’onda piana.
\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H} \end{equation}che, in una dimensione, si semplifica inche, in una dimensione, si semplifica in
\begin{equation} \frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{eq:maxwell} \end{equation}Applicando l’equazione \eqref{eq:maxwell} alle equazioni \eqref{eq:efield1} e \eqref{eq:efield2}, otteniamo il campo magnetico sul lato sinistro dell’interfaccia.Applicando l’equazione \eqref{eq:maxwell} alle equazioni \eqref{eq:efield1} e \eqref{eq:efield2}, otteniamo il campo magnetico sul lato sinistro dell’interfaccia.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation}e sul lato destro dell’interfaccia.e sul lato destro dell’interfaccia.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}Fare ordine dà...Fare ordine dà...
\begin{equation} H^{y}_{1}=\frac{k_1}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k_1}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation} \begin{equation} H^{y}_{2}=\frac{k_2}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k_2}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}3. Condizioni al contorno3. Condizioni al contorno
Ora applichiamo le condizioni al contorno per i campi elettrico e magnetico.Ora applichiamo le condizioni al contorno per i campi elettrico e magnetico.
\begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0 \end{equation} \begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0 \end{equation}Valutando i campi nell’interfaccia \(z=0\) si ottiene:Valutando i campi nell’interfaccia \(z=0\) si ottiene:
\begin{equation} (E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{eq:electric_boundary} \end{equation}ee
\begin{equation} \frac{k_2}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - \frac{k_1}{\omega \mu}(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \end{equation}Il vettore d’onda è definito dalla seguente espressione:Il vettore d’onda è definito dalla seguente espressione:
\begin{equation} k=\frac{2\pi n}{\lambda} \end{equation}Possiamo quindi esprimere la condizione al contorno magnetica come segue:Possiamo quindi esprimere la condizione al contorno magnetica come segue:
\begin{equation} n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{eq:mag_boundary} \end{equation}4. Onda che si propaga in avanti4. Onda che si propaga in avanti
Rielaborando l’equazione \eqref{eq:mag_boundary} si ottiene:Rielaborando l’equazione \eqref{eq:mag_boundary} si ottiene:
\begin{equation} E_{1}^{-} = E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Sostituendo nell’equazione \eqref{eq:electric_boundary}, si ottiene:Sostituendo nell’equazione \eqref{eq:electric_boundary}, si ottiene:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-} = E_{1}^{+}+E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+} = E_{2}^{+}+E_{2}^{-} + \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2} = E_{2}^{+} + E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \end{equation}5. Onda che si propaga in direzione opposta5. Onda che si propaga in direzione opposta
Rielaboriamo l’equazione \eqref{eq:mag_boundary} per ottenere:Rielaboriamo l’equazione \eqref{eq:mag_boundary} per ottenere:
\begin{equation} E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Sostituendo nell’equazione \eqref{eq:electric_boundary}, si ottiene:Sostituendo nell’equazione \eqref{eq:electric_boundary}, si ottiene:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-} \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-} \end{equation}Queste equazioni diventano:Queste equazioni diventano:
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-} \end{equation}ee
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12} \end{equation}Tenendo conto della propagazione, possiamo scrivere:Tenendo conto della propagazione, possiamo scrivere:
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}ee
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}dovedove
\begin{equation} \zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n} \end{equation}6. Implementazione della matrice di trasferimento6. Implementazione della matrice di trasferimento
Attualmente, il metodo della matrice di trasferimento può essere implementato esprimendo i campi ottici in ciascun strato come un vettore contenente le onde che si propagano in avanti e all’indietro. La struttura ottica multistrato viene quindi risolta moltiplicando ripetutamente piccole matrici che descrivono la propagazione attraverso ciascun strato e la riflessione/trasmissione a ciascuna interfaccia. Questo approccio è efficiente dal punto di vista computazionale e richiede solo semplici operazioni di moltiplicazione di matrici, il che ne facilita l’implementazione numerica.Attualmente, il metodo della matrice di trasferimento può essere implementato esprimendo i campi ottici in ciascun strato come un vettore contenente le onde che si propagano in avanti e all’indietro. La struttura ottica multistrato viene quindi risolta moltiplicando ripetutamente piccole matrici che descrivono la propagazione attraverso ciascun strato e la riflessione/trasmissione a ciascuna interfaccia. Questo approccio è efficiente dal punto di vista computazionale e richiede solo semplici operazioni di moltiplicazione di matrici, il che ne facilita l’implementazione numerica.
Il campo ottico nello strato \(i\) è espresso come:Il campo ottico nello strato \(i\) è espresso come:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} \end{equation}dove \(E_i^{+}\) e \(E_i^{-}\) rappresentano rispettivamente l’onda che si propaga in avanti e l’onda che si propaga all’indietro.dove \(E_i^{+}\) e \(E_i^{-}\) rappresentano rispettivamente l’onda che si propaga in avanti e l’onda che si propaga all’indietro.
Ad ogni interfaccia, i coefficienti di riflessione e trasmissione di Fresnel sono dati da:Ad ogni interfaccia, i coefficienti di riflessione e trasmissione di Fresnel sono dati da:
\begin{equation} r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}, \qquad t_{ij}=\frac{2n_i}{n_i+n_j} \end{equation}L’interfaccia tra gli strati \(i\) e \(j\) può quindi essere espressa come:L’interfaccia tra gli strati \(i\) e \(j\) può quindi essere espressa come:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} = \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_j^{+} \\ E_j^{-} \end{pmatrix} \end{equation}La propagazione attraverso uno strato di spessore \(d_i\) è descritta da:La propagazione attraverso uno strato di spessore \(d_i\) è descritta da:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z+d_i) \\ E_i^{-}(z+d_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z) \\ E_i^{-}(z) \end{pmatrix} \end{equation}dovedove
\begin{equation} \zeta_i=\frac{2\pi \bar{n}_i}{\lambda} \end{equation}La matrice di trasferimento per un singolo strato si ottiene moltiplicando tra loro la matrice dell’interfaccia e la matrice di propagazione.La matrice di trasferimento per un singolo strato si ottiene moltiplicando tra loro la matrice dell’interfaccia e la matrice di propagazione.
\begin{equation} M_i= \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \end{equation}La risposta ottica dell’intero dispositivo multistrato si ottiene quindi moltiplicando le matrici tra loro.La risposta ottica dell’intero dispositivo multistrato si ottiene quindi moltiplicando le matrici tra loro.
\begin{equation} M=M_1M_2M_3 \cdots M_n \end{equation}in modo che; in tal modo; in maniera tale chein modo che; in tal modo; in maniera tale che
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_0^{+} \\ E_0^{-} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} E_n^{+} \\ E_n^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Per un dispositivo che non riceve onde dalla parte posteriore, \(E_n^{-}=0\). I campi riflessi e trasmessi possono quindi essere calcolati direttamente a partire dagli elementi della matrice risultante.Per un dispositivo che non riceve onde dalla parte posteriore, \(E_n^{-}=0\). I campi riflessi e trasmessi possono quindi essere calcolati direttamente a partire dagli elementi della matrice risultante.
7. Risoluzione tramite un’unica matrice estesa7. Risoluzione tramite un’unica matrice estesa
La derivazione sopra descritta illustra il metodo classico della matrice di trasferimento, in cui il campo ottico viene propagato attraverso una sequenza di strati discreti mediante matrici di trasferimento. Questo approccio è molto efficiente e funziona particolarmente bene per le strutture multistrato convenzionali, come le celle solari, gli OLED, i filtri ottici e i sensori a film sottile, in cui il dispositivo può essere descritto in modo naturale come una pila di strati ben definiti.La derivazione sopra descritta illustra il metodo classico della matrice di trasferimento, in cui il campo ottico viene propagato attraverso una sequenza di strati discreti mediante matrici di trasferimento. Questo approccio è molto efficiente e funziona particolarmente bene per le strutture multistrato convenzionali, come le celle solari, gli OLED, i filtri ottici e i sensori a film sottile, in cui il dispositivo può essere descritto in modo naturale come una pila di strati ben definiti.
In alcuni sistemi ottici, tuttavia, la geometria non si presta a una semplice descrizione a strati. Tra gli esempi si possono citare le strutture a indice variabile, i dispositivi che contengono spazi vuoti, le griglie a retroazione distribuita (DFB) e le strutture tridimensionali proiettate su una griglia ottica monodimensionale. In questi casi, può diventare complicato rappresentare il sistema come una sequenza di strati discreti con interfacce ben definite.In alcuni sistemi ottici, tuttavia, la geometria non si presta a una semplice descrizione a strati. Tra gli esempi si possono citare le strutture a indice variabile, i dispositivi che contengono spazi vuoti, le griglie a retroazione distribuita (DFB) e le strutture tridimensionali proiettate su una griglia ottica monodimensionale. In questi casi, può diventare complicato rappresentare il sistema come una sequenza di strati discreti con interfacce ben definite.
Per risolvere questo problema, OghmaNano può proiettare le equazioni della matrice di trasferimento su una griglia a differenze finite. Invece di propagare il campo ottico strato per strato, l’intero sistema ottico è rappresentato da una singola matrice che contiene simultaneamente tutte le componenti delle onde che si propagano in avanti e all’indietro. Il sistema lineare risultante viene quindi risolto mediante una singola operazione di inversione della matrice.Per risolvere questo problema, OghmaNano può proiettare le equazioni della matrice di trasferimento su una griglia a differenze finite. Invece di propagare il campo ottico strato per strato, l’intero sistema ottico è rappresentato da una singola matrice che contiene simultaneamente tutte le componenti delle onde che si propagano in avanti e all’indietro. Il sistema lineare risultante viene quindi risolto mediante una singola operazione di inversione della matrice.
Per un dispositivo dotato di contatti posteriori non riflettenti, il sistema risultante assume la seguente forma:Per un dispositivo dotato di contatti posteriori non riflettenti, il sistema risultante assume la seguente forma:
\begin{equation} \begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 & r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} & e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t_{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}Il vettore sconosciuto contiene i campi ottici che si propagano in avanti e all’indietro all’interno del dispositivo, mentre la matrice dei coefficienti contiene le relazioni di trasmissione e riflessione tra i punti o le interfacce adiacenti della griglia. Il vettore a destra rappresenta il campo ottico incidente proveniente dall’esterno.Il vettore sconosciuto contiene i campi ottici che si propagano in avanti e all’indietro all’interno del dispositivo, mentre la matrice dei coefficienti contiene le relazioni di trasmissione e riflessione tra i punti o le interfacce adiacenti della griglia. Il vettore a destra rappresenta il campo ottico incidente proveniente dall’esterno.
Per i dispositivi multistrato convenzionali, la formulazione basata sulle differenze finite produce in genere risultati molto simili a quelli ottenuti con il metodo classico della matrice di trasferimento. Il principale vantaggio di questo approccio è la sua flessibilità: geometrie complesse possono essere rappresentate direttamente su una griglia senza doverle prima convertire in una sequenza di strati idealizzati. Ciò rende il metodo particolarmente utile per strutture come le griglie DFB, i dispositivi a indice variabile e altri sistemi ottici in cui le proprietà dei materiali variano continuamente nello spazio.Per i dispositivi multistrato convenzionali, la formulazione basata sulle differenze finite produce in genere risultati molto simili a quelli ottenuti con il metodo classico della matrice di trasferimento. Il principale vantaggio di questo approccio è la sua flessibilità: geometrie complesse possono essere rappresentate direttamente su una griglia senza doverle prima convertire in una sequenza di strati idealizzati. Ciò rende il metodo particolarmente utile per strutture come le griglie DFB, i dispositivi a indice variabile e altri sistemi ottici in cui le proprietà dei materiali variano continuamente nello spazio.
Dal punto di vista dell’utente, la formulazione classica della matrice di trasferimento e quella basata sulle differenze finite producono risultati simili, tra cui la densità dei fotoni, la densità dei fotoni assorbiti e i profili di riflessione, trasmissione e generazione. Pertanto, la scelta tra i due metodi dipende principalmente da quanto facilmente la struttura ottica può essere rappresentata.Dal punto di vista dell’utente, la formulazione classica della matrice di trasferimento e quella basata sulle differenze finite producono risultati simili, tra cui la densità dei fotoni, la densità dei fotoni assorbiti e i profili di riflessione, trasmissione e generazione. Pertanto, la scelta tra i due metodi dipende principalmente da quanto facilmente la struttura ottica può essere rappresentata.
8. Indice di rifrazione complesso e assorbimento ottico8. Indice di rifrazione complesso e assorbimento ottico
Nell’ambito del metodo della matrice di trasferimento, l’assorbimento ottico viene considerato attraverso l’indice di rifrazione complesso \(n+j\kappa\), dove \(n\) rappresenta l’indice di rifrazione e \(\kappa\) il coefficiente di estinzione. Il campo elettrico che si propaga attraverso un mezzo assorbente è dato da:Nell’ambito del metodo della matrice di trasferimento, l’assorbimento ottico viene considerato attraverso l’indice di rifrazione complesso \(n+j\kappa\), dove \(n\) rappresenta l’indice di rifrazione e \(\kappa\) il coefficiente di estinzione. Il campo elettrico che si propaga attraverso un mezzo assorbente è dato da:
\begin{equation} E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t}) \end{equation}Poiché l’intensità ottica è proporzionale al quadrato del campo elettrico, il coefficiente di assorbimento diventaPoiché l’intensità ottica è proporzionale al quadrato del campo elettrico, il coefficiente di assorbimento diventa
\begin{equation} e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}} \end{equation} \begin{equation} \alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} \end{equation}👉 Passaggio successivo: proseguite con lo strumento di simulazione Transfer Matrix per scoprire come viene implementata la TMM all’interno di OghmaNano.👉 Passaggio successivo: proseguite con lo strumento di simulazione Transfer Matrix per scoprire come viene implementata la TMM all’interno di OghmaNano.