Drift-Difüzyon Denklemlerinin Boltzmann Taşıma Denklemi Türetilerek Elde EdilmesiDrift-Difüzyon Denklemlerinin Boltzmann Taşıma Denklemi Türetilerek Elde Edilmesi

Bu sayfada, yarı iletken cihaz simülasyonlarında kullanılan sürüklenme-difüzyon denklemlerinin, gevşeme süresi yaklaşımı kullanılarak Boltzmann Taşıma Denklemi'nden yola çıkılarak, temel ilkelerden türetilmesi sunulmaktadır. Boltzmann denkleminin ardışık momentlerini alarak, elektron ve boşluk süreklilik denklemlerinin, sürüklenme-difüzyon akım ilişkilerinin ve enerji taşıma (sıcak taşıyıcı) denklemlerinin, tek ve kendi kendine tutarlı bir çerçevede nasıl ortaya çıktığını göstermekteyiz. Özellikle heterojunction'lar, bant kenarı sürüşü, durum yoğunluğu etkileri ve termal taşıma konularına odaklanılarak, OghmaNano'da uygulanan ve çözücüye hazır denklemler elde edilmektedir.Bu sayfada, yarı iletken cihaz simülasyonlarında kullanılan sürüklenme-difüzyon denklemlerinin, gevşeme süresi yaklaşımı kullanılarak Boltzmann Taşıma Denklemi'nden yola çıkılarak, temel ilkelerden türetilmesi sunulmaktadır. Boltzmann denkleminin ardışık momentlerini alarak, elektron ve boşluk süreklilik denklemlerinin, sürüklenme-difüzyon akım ilişkilerinin ve enerji taşıma (sıcak taşıyıcı) denklemlerinin, tek ve kendi kendine tutarlı bir çerçevede nasıl ortaya çıktığını göstermekteyiz. Özellikle heterojunction'lar, bant kenarı sürüşü, durum yoğunluğu etkileri ve termal taşıma konularına odaklanılarak, OghmaNano'da uygulanan ve çözücüye hazır denklemler elde edilmektedir.

1. Giriş1. Giriş

OghmaNano'nun elektrik motoru, dinamik (dengede olmayan) tuzak durumlarını desteklemesiyle öne çıkan 1B/2B/3B sürüklenme-difüzyon çerçevesidir. OghmaNano, tuzakların serbest taşıyıcılarla anında dengeye ulaştığı varsayımından ziyade, tuzakların enerji ve uzaydaki doluluklarını açıkça modelleyebilir. Bu özellik, düzensiz yarı iletkenlerin ve geçici ölçümlerin (örneğin, ToF, CELIV) yanı sıra dengeli durumdaki çalışmanın doğru bir şekilde modellenmesi için hayati önem taşır.OghmaNano'nun elektrik motoru, dinamik (dengede olmayan) tuzak durumlarını desteklemesiyle öne çıkan 1B/2B/3B sürüklenme-difüzyon çerçevesidir. OghmaNano, tuzakların serbest taşıyıcılarla anında dengeye ulaştığı varsayımından ziyade, tuzakların enerji ve uzaydaki doluluklarını açıkça modelleyebilir. Bu özellik, düzensiz yarı iletkenlerin ve geçici ölçümlerin (örneğin, ToF, CELIV) yanı sıra dengeli durumdaki çalışmanın doğru bir şekilde modellenmesi için hayati önem taşır.

Sürüklenme-difüzyon modeline ulaşmak için birçok geçerli yöntem bulunmaktadır. Örneğin, Boltzmann taşıma denklemi kullanılarak moment genişletmeleri ve kontrollü yaklaşımlar yoluyla, geri dönüşümsüz termodinamik (Onsager / entropi üretimi argümanları) veya rastgele hareket / Fokker-Planck yaklaşımı ile (mikroskopik sıçramaları makroskopik sürüklenme ve difüzyona bağlayan) bu modele ulaşılabilir. Bu yaklaşımlar genellikle ilk bakışta benzer görünen denklemler üretir, ancak en basit "homojen yarı iletken" durumunun ötesine geçildiğinde eşit derecede güvenilir değildirler.Sürüklenme-difüzyon modeline ulaşmak için birçok geçerli yöntem bulunmaktadır. Örneğin, Boltzmann taşıma denklemi kullanılarak moment genişletmeleri ve kontrollü yaklaşımlar yoluyla, geri dönüşümsüz termodinamik (Onsager / entropi üretimi argümanları) veya rastgele hareket / Fokker-Planck yaklaşımı ile (mikroskopik sıçramaları makroskopik sürüklenme ve difüzyona bağlayan) bu modele ulaşılabilir. Bu yaklaşımlar genellikle ilk bakışta benzer görünen denklemler üretir, ancak en basit "homojen yarı iletken" durumunun ötesine geçildiğinde eşit derecede güvenilir değildirler.

Özellikle heteroyapıları, uzaysal olarak değişen etkin durum yoğunluğunu, konuma bağlı etkin kütleyi, bant kenarı gradyanlarını veya alışılmadık istatistikleri devreye soktuğunuzda, artık bir sürüklenme-difüzyon akımına ek terimler ekleyerek ve sonucun tutarlı kalacağını umarak ilerlemek güvenli değildir. Aynı durum, termal sürüşü dahil etmeye veya elektriksel iletimi ısı üretimiyle ilişkilendirmeye başladığınızda da geçerlidir. İhtiyacınız olan şey, doğru ek terimleri doğal olarak üreten ve rastgele değişikliklerden ziyade, genişletmelere yönelik açık bir yol sağlayan bir türetme çerçevesidir.Özellikle heteroyapıları, uzaysal olarak değişen etkin durum yoğunluğunu, konuma bağlı etkin kütleyi, bant kenarı gradyanlarını veya alışılmadık istatistikleri devreye soktuğunuzda, artık bir sürüklenme-difüzyon akımına ek terimler ekleyerek ve sonucun tutarlı kalacağını umarak ilerlemek güvenli değildir. Aynı durum, termal sürüşü dahil etmeye veya elektriksel iletimi ısı üretimiyle ilişkilendirmeye başladığınızda da geçerlidir. İhtiyacınız olan şey, doğru ek terimleri doğal olarak üreten ve rastgele değişikliklerden ziyade, genişletmelere yönelik açık bir yol sağlayan bir türetme çerçevesidir.

Bu nedenle, burada sunulan türetme, Boltzmann Taşıma Denklemi'nden başlar. BTE'nin momentlerini almak, sistematik bir şekilde süreklilik denklemlerini ve düşük atalet limitinde sürüklenme-difüzyon yapısal ilişkilerini ortaya çıkarır ve aynı zamanda aynı çerçevenin bir sonraki seviyeye nasıl "yükseltildiğini" gösterir: enerji dengesi (enerji taşıma) denklemleri. Tam hidrodinamik modeli çözmeseniz bile, enerji çerçevesi değerli bilgiler sunar, çünkü tutarlı elektriksel ısı kaynağı terimlerini belirler ve taşıyıcı ısınmasının ne zaman dikkate alınması gerektiğini açıklar. Aşağıdaki türetme, OghmaNano'nun elektriksel modelinin temelini oluşturur.Bu nedenle, burada sunulan türetme, Boltzmann Taşıma Denklemi'nden başlar. BTE'nin momentlerini almak, sistematik bir şekilde süreklilik denklemlerini ve düşük atalet limitinde sürüklenme-difüzyon yapısal ilişkilerini ortaya çıkarır ve aynı zamanda aynı çerçevenin bir sonraki seviyeye nasıl "yükseltildiğini" gösterir: enerji dengesi (enerji taşıma) denklemleri. Tam hidrodinamik modeli çözmeseniz bile, enerji çerçevesi değerli bilgiler sunar, çünkü tutarlı elektriksel ısı kaynağı terimlerini belirler ve taşıyıcı ısınmasının ne zaman dikkate alınması gerektiğini açıklar. Aşağıdaki türetme, OghmaNano'nun elektriksel modelinin temelini oluşturur.

2. Boltzmann Taşıma Denklemi (RTA)2. Boltzmann Taşıma Denklemi (RTA)

Cihaz modellemesinde kullanılan en temel düzeyde, yük taşıması bir dağılım fonksiyonu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) aracılığıyla açıklanır. Bu fonksiyon, belirli bir zamanda \(t\), belirli bir kristal momentumuna \(\hbar\mathbf{k}\) sahip bir yük taşıyıcının \(\mathbf{r}\) konumunda bulunma olasılığını temsil eder. Tüm makroskopik elektriksel nicelikler – taşıyıcı yoğunluğu, akım yoğunluğu, enerji yoğunluğu – bu dağılımın uygun momentleri alınarak elde edilebilir.Cihaz modellemesinde kullanılan en temel düzeyde, yük taşıması bir dağılım fonksiyonu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) aracılığıyla açıklanır. Bu fonksiyon, belirli bir zamanda \(t\), belirli bir kristal momentumuna \(\hbar\mathbf{k}\) sahip bir yük taşıyıcının \(\mathbf{r}\) konumunda bulunma olasılığını temsil eder. Tüm makroskopik elektriksel nicelikler – taşıyıcı yoğunluğu, akım yoğunluğu, enerji yoğunluğu – bu dağılımın uygun momentleri alınarak elde edilebilir.

Boltzmann Taşıma Denklemi (BTE), bu dağılım fonksiyonu için hareket denklemidir. Bu denklem, faz uzayında bir korunım yasasıdır: taşıyıcıların gerçek uzayda nasıl hareket ettiğini, uygulanan kuvvetler altında momentumlarının nasıl değiştiğini ve saçılma süreçlerinin taşıyıcıları momentum uzayında nasıl yeniden dağıttığını açıklar. Bu nedenle, BTE'den yola çıkarak, sürüklenme-difüzyon, enerji taşınımı ve ilgili modellerin tümü, tutarlı bir şekilde türetilebilecek tek ve birleşik bir çerçeve sağlanır.Boltzmann Taşıma Denklemi (BTE), bu dağılım fonksiyonu için hareket denklemidir. Bu denklem, faz uzayında bir korunım yasasıdır: taşıyıcıların gerçek uzayda nasıl hareket ettiğini, uygulanan kuvvetler altında momentumlarının nasıl değiştiğini ve saçılma süreçlerinin taşıyıcıları momentum uzayında nasıl yeniden dağıttığını açıklar. Bu nedenle, BTE'den yola çıkarak, sürüklenme-difüzyon, enerji taşınımı ve ilgili modellerin tümü, tutarlı bir şekilde türetilebilecek tek ve birleşik bir çerçeve sağlanır.

Boltzmann taşıma denkleminin (BTE) tam formundaki çarpışma (saçılma) terimi karmaşıktır ve malzemeye özgüdür. Pratik cihaz modellemesi için genellikle gevşeme süresi yaklaşımı (RTA) kullanılır; bu yaklaşımda, saçılmanın bir karakteristik süre boyunca dağılımı yerel bir yarı-dengeli forma doğru yönlendirdiği varsayılır \(f^0\) \(\tau\). Bu yaklaşım, momentum ve enerji gevşemesinin temel fiziksel özelliklerini korurken denklemlerin çözülebilirliğini de sağlar.Boltzmann taşıma denkleminin (BTE) tam formundaki çarpışma (saçılma) terimi karmaşıktır ve malzemeye özgüdür. Pratik cihaz modellemesi için genellikle gevşeme süresi yaklaşımı (RTA) kullanılır; bu yaklaşımda, saçılmanın bir karakteristik süre boyunca dağılımı yerel bir yarı-dengeli forma doğru yönlendirdiği varsayılır \(f^0\) \(\tau\). Bu yaklaşım, momentum ve enerji gevşemesinin temel fiziksel özelliklerini korurken denklemlerin çözülebilirliğini de sağlar.

Bu yaklaşımla, yarı klasik Boltzmann taşıma denklemi şu şekilde yazılabilir:Bu yaklaşımla, yarı klasik Boltzmann taşıma denklemi şu şekilde yazılabilir:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Sol taraftaki üç terimin belirgin bir fiziksel anlamı vardır: ilk terim, dağılımın zaman içindeki açık değişimini tanımlar; ikinci terim, taşıyıcı hız \(\mathbf{v}\) ile gerçek uzaydaki taşınmayı tanımlar; üçüncü terim ise uygulanan bir kuvvet \(\mathbf{F}\) nedeniyle momentum uzayındaki ivmeyi tanımlar (örneğin, bir elektrik alanında \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\)). Sağ taraf, sistemin \(f^0\)'e doğru gevşemesine neden olan saçılmayı temsil eder.Sol taraftaki üç terimin belirgin bir fiziksel anlamı vardır: ilk terim, dağılımın zaman içindeki açık değişimini tanımlar; ikinci terim, taşıyıcı hız \(\mathbf{v}\) ile gerçek uzaydaki taşınmayı tanımlar; üçüncü terim ise uygulanan bir kuvvet \(\mathbf{F}\) nedeniyle momentum uzayındaki ivmeyi tanımlar (örneğin, bir elektrik alanında \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\)). Sağ taraf, sistemin \(f^0\)'e doğru gevşemesine neden olan saçılmayı temsil eder.

Serbest elektronların hareketi ve difüzyonu teorisi, bu denklemi doğrudan çözmeye çalışmaz. Bunun yerine, Boltzmann taşıma denkleminin (BTE) momentlerini alarak – momentum uzayı üzerinden yapılan integraller – fiziksel olarak anlamlı nicelikler için, örneğin taşıyıcı yoğunluğu, akım yoğunluğu ve enerji yoğunluğu gibi, evrim denklemleri elde eder. Aşağıdaki bölümler, bu yöntemin nasıl doğal bir şekilde tanıdık serbest elektronların hareketi ve difüzyonu denklemlerine ve bir sonraki aşamada enerji dengesi (sıcak taşıyıcı) modellerine yol açtığını göstermektedir.Serbest elektronların hareketi ve difüzyonu teorisi, bu denklemi doğrudan çözmeye çalışmaz. Bunun yerine, Boltzmann taşıma denkleminin (BTE) momentlerini alarak – momentum uzayı üzerinden yapılan integraller – fiziksel olarak anlamlı nicelikler için, örneğin taşıyıcı yoğunluğu, akım yoğunluğu ve enerji yoğunluğu gibi, evrim denklemleri elde eder. Aşağıdaki bölümler, bu yöntemin nasıl doğal bir şekilde tanıdık serbest elektronların hareketi ve difüzyonu denklemlerine ve bir sonraki aşamada enerji dengesi (sıcak taşıyıcı) modellerine yol açtığını göstermektedir.

3. Boltzmann Taşıma Denkleminin belirli anlarını almak3. Boltzmann Taşıma Denkleminin belirli anlarını almak

Boltzmann Taşıma Denklemi, bir dağılım fonksiyonu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) aracılığıyla taşıyıcı dinamiklerini tanımlar; bu fonksiyon, elektronik durumların konum, momentum ve zamana bağlı olarak ne kadarının dolulukta olduğunu gösterir. Denge durumunda bu dağılım, tanıdık Fermi-Dirac fonksiyonuna indirgenirken, bir potansiyel farkı uygulandığında, elektrik alanlarına, bant kenarı değişimlerine ve saçılma süreçlerine yanıt olarak evrilir. Cihaz ölçeğinde kullanışlı denklemler elde etmek için, \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) için doğrudan bir çözüm aramayız. Bunun yerine, tüm Boltzmann denkleminin momentlerini alarak, makroskopik nicelikler için evrim denklemleri türetir ve böylece mikroskopik taşıyıcı istatistiklerini sistematik olarak sürüklenme-difüzyon, enerji taşınımı ve ilgili modellere bağlarız.Boltzmann Taşıma Denklemi, bir dağılım fonksiyonu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) aracılığıyla taşıyıcı dinamiklerini tanımlar; bu fonksiyon, elektronik durumların konum, momentum ve zamana bağlı olarak ne kadarının dolulukta olduğunu gösterir. Denge durumunda bu dağılım, tanıdık Fermi-Dirac fonksiyonuna indirgenirken, bir potansiyel farkı uygulandığında, elektrik alanlarına, bant kenarı değişimlerine ve saçılma süreçlerine yanıt olarak evrilir. Cihaz ölçeğinde kullanışlı denklemler elde etmek için, \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) için doğrudan bir çözüm aramayız. Bunun yerine, tüm Boltzmann denkleminin momentlerini alarak, makroskopik nicelikler için evrim denklemleri türetir ve böylece mikroskopik taşıyıcı istatistiklerini sistematik olarak sürüklenme-difüzyon, enerji taşınımı ve ilgili modellere bağlarız.

Resmi olarak, bir moment denklemi, tam BTE'nin bir ağırlık \(A(\mathbf{k})\) ile çarpılması ve tüm momentum uzayı üzerinde entegre edilmesiyle elde edilir:Resmi olarak, bir moment denklemi, tam BTE'nin bir ağırlık \(A(\mathbf{k})\) ile çarpılması ve tüm momentum uzayı üzerinde entegre edilmesiyle elde edilir:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \] \[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Her ağırlık fonksiyonu seçimi \(A(\mathbf{k})\), bir denge denklemi oluşturur: bu denklem, bir makroskopik niceliğin nasıl etkilendiğini ve nasıl dengeye geldiğini ifade eden bir evrim denklemidir. \(A=1\) değeri, parçacık denge denklemini verir ve bu denklemden, bilinen elektron ve boşluk süreklilik denklemleri elde edilir. İlk momenti alarak, \(A=\hbar\mathbf{k}\) (veya eşdeğer olarak \(m^\ast\mathbf{v}\)) kullanıldığında, taşıyıcı momentumunun kuvvetlere ve saçılmaya nasıl tepki verdiğini açıklayan bir momentum denge denklemi elde edilir; bu denklemin aşırı sönümlü limiti alınarak standart sürüklenme-difüzyon akımı elde edilir; bu durumda momentum hızla dengelenir ve atalet terimleri ihmal edilir. Bir sonraki momenti alarak, \(A=W(\mathbf{k})\) kullanıldığında, taşıyıcı enerjisinin taşınımını ve dengeye gelmesini açıklayan bir enerji denge denklemi elde edilir ve bu denklem, sıcak taşıyıcıları, termal sürüklenmeyi ve elektriksel ısı üretimini modellemek için gereken minimum uzantıyı sağlar. Bu şekilde, süreklilik, sürüklenme-difüzyon ve enerji taşınımı modelleri, tek ve tutarlı bir çerçeve içinde ardışık yaklaşımlar olarak ortaya çıkar.Her ağırlık fonksiyonu seçimi \(A(\mathbf{k})\), bir denge denklemi oluşturur: bu denklem, bir makroskopik niceliğin nasıl etkilendiğini ve nasıl dengeye geldiğini ifade eden bir evrim denklemidir. \(A=1\) değeri, parçacık denge denklemini verir ve bu denklemden, bilinen elektron ve boşluk süreklilik denklemleri elde edilir. İlk momenti alarak, \(A=\hbar\mathbf{k}\) (veya eşdeğer olarak \(m^\ast\mathbf{v}\)) kullanıldığında, taşıyıcı momentumunun kuvvetlere ve saçılmaya nasıl tepki verdiğini açıklayan bir momentum denge denklemi elde edilir; bu denklemin aşırı sönümlü limiti alınarak standart sürüklenme-difüzyon akımı elde edilir; bu durumda momentum hızla dengelenir ve atalet terimleri ihmal edilir. Bir sonraki momenti alarak, \(A=W(\mathbf{k})\) kullanıldığında, taşıyıcı enerjisinin taşınımını ve dengeye gelmesini açıklayan bir enerji denge denklemi elde edilir ve bu denklem, sıcak taşıyıcıları, termal sürüklenmeyi ve elektriksel ısı üretimini modellemek için gereken minimum uzantıyı sağlar. Bu şekilde, süreklilik, sürüklenme-difüzyon ve enerji taşınımı modelleri, tek ve tutarlı bir çerçeve içinde ardışık yaklaşımlar olarak ortaya çıkar.

Standart sapma-difüzyon modeli, yalnızca parçacık dengesi denklemini ve momentum dengesi denkleminden elde edilen akım için basitleştirilmiş bir yapısal ilişkiyi korur. Bu süreçte, taşıyıcı enerjisini korumaz.Standart sapma-difüzyon modeli, yalnızca parçacık dengesi denklemini ve momentum dengesi denkleminden elde edilen akım için basitleştirilmiş bir yapısal ilişkiyi korur. Bu süreçte, taşıyıcı enerjisini korumaz.

4. Sıfırıncı an: parçacık dengesi (süreklilik denklemi)4. Sıfırıncı an: parçacık dengesi (süreklilik denklemi)

Boltzmann taşıma denkleminin ilk ve en önemli momenti, ağırlık fonksiyonunun birime eşitlenmesiyle elde edilir \(A(\mathbf{k}) = 1\). Bu, taşıyıcıların sayılması anlamına gelir: tam Boltzmann denkleminin tüm momentler üzerinden entegre edilmesi, uzaydaki her noktada toplam taşıyıcı yoğunluğu için bir denge yasası verir. Bu nedenle sıfırıncı moment, parçacık denge (veya parçacık sürekliliği) denklemi olarak adlandırılır.Boltzmann taşıma denkleminin ilk ve en önemli momenti, ağırlık fonksiyonunun birime eşitlenmesiyle elde edilir \(A(\mathbf{k}) = 1\). Bu, taşıyıcıların sayılması anlamına gelir: tam Boltzmann denkleminin tüm momentler üzerinden entegre edilmesi, uzaydaki her noktada toplam taşıyıcı yoğunluğu için bir denge yasası verir. Bu nedenle sıfırıncı moment, parçacık denge (veya parçacık sürekliliği) denklemi olarak adlandırılır.

4.1 Türetme (sıfırıncı moment / parçacık dengesi)4.1 Türetme (sıfırıncı moment / parçacık dengesi)

Boltzmann denkleminin gevşeme süresi formundan başlayın:Boltzmann denkleminin gevşeme süresi formundan başlayın:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

\(A(\mathbf{k})=1\) ile çarpın ve tüm \(\mathbf{k}\) üzerinden entegre edin:\(A(\mathbf{k})=1\) ile çarpın ve tüm \(\mathbf{k}\) üzerinden entegre edin:

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

İlk terim, taşıyıcı yoğunluğunu \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] şu şekilde tanımlar: \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]İlk terim, taşıyıcı yoğunluğunu \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] şu şekilde tanımlar: \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

İkinci terim, gerçek uzayda bir sapmaya neden olur:İkinci terim, gerçek uzayda bir sapmaya neden olur:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \] \[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

ortalama taşıyıcı hızı \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \] olan yerdeortalama taşıyıcı hızı \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \] olan yerde

Üçüncü terim (kuvvet terimi), dağılımın \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) ile birlikte hızla azaldığı varsayımı altında, standart varsayımlar altında ortadan kaybolur; bu nedenle ilgili \(\mathbf{k}\) uzay yüzey integrali sıfırdır:Üçüncü terim (kuvvet terimi), dağılımın \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) ile birlikte hızla azaldığı varsayımı altında, standart varsayımlar altında ortadan kaybolur; bu nedenle ilgili \(\mathbf{k}\) uzay yüzey integrali sıfırdır:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \] \[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Terimleri topladığımızda, sıfırıncı dereceden moment denklemi şu hale gelir:Terimleri topladığımızda, sıfırıncı dereceden moment denklemi şu hale gelir:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Sağ taraf, sürüklenme-difüzyon seviyesinde incelendiğinde serbest taşıyıcıları oluşturan veya ortadan kaldıran süreçleri temsil eder: oluşum, rekombinasyon ve (tuzakları olan malzemelerde) tuzak durumlarıyla değişim. Bu nedenle, bunu daha kısa bir şekilde şu şekilde ifade ederiz: \(G - R\) (tuzak yakalama/salınımı, etkili \(R\) terimine dahil edilerek veya tuzaklama modelinde açıkça belirtilerek).Sağ taraf, sürüklenme-difüzyon seviyesinde incelendiğinde serbest taşıyıcıları oluşturan veya ortadan kaldıran süreçleri temsil eder: oluşum, rekombinasyon ve (tuzakları olan malzemelerde) tuzak durumlarıyla değişim. Bu nedenle, bunu daha kısa bir şekilde şu şekilde ifade ederiz: \(G - R\) (tuzak yakalama/salınımı, etkili \(R\) terimine dahil edilerek veya tuzaklama modelinde açıkça belirtilerek).

4.2 Difüzyon-akım formundaki süreklilik denklemi4.2 Difüzyon-akım formundaki süreklilik denklemi

Elektron akım yoğunluğu \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] ile parçacık dengesi denklemi, bilinen elektron süreklilik denklemine dönüşür:Elektron akım yoğunluğu \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] ile parçacık dengesi denklemi, bilinen elektron süreklilik denklemine dönüşür:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \] \[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

İlgili delik süreklilik denklemi şudur:İlgili delik süreklilik denklemi şudur:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \] \[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. İlk an: momentum dengesi → sürüklenme-difüzyon akımı5. İlk an: momentum dengesi → sürüklenme-difüzyon akımı

Sürüklenme-difüzyon akım denklemleri, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin birinci momenti kullanılarak elde edilir. Bu moment, taşıyıcı momentumunun elektrik alanları ve bant kenarı gradyanları gibi kuvvetler tarafından nasıl yönlendirildiğini ve saçılma yoluyla nasıl azaltıldığını açıklayan bir momentum dengesine karşılık gelir. Tam momentum denge denklemini çözmek yerine, standart sürüklenme-difüzyon, taşıyıcı hızının doğrudan yerel yönlendirici kuvvetler cinsinden ifade edilmesiyle elde edilir; bu süreçte momentum veya enerji için açık bir evrim denklemi korunmaz. Bu yaklaşım, daha yüksek dereceli momentum ve enerji taşıma etkilerinin gerekli olmadığı durumlarda uygundur.Sürüklenme-difüzyon akım denklemleri, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin birinci momenti kullanılarak elde edilir. Bu moment, taşıyıcı momentumunun elektrik alanları ve bant kenarı gradyanları gibi kuvvetler tarafından nasıl yönlendirildiğini ve saçılma yoluyla nasıl azaltıldığını açıklayan bir momentum dengesine karşılık gelir. Tam momentum denge denklemini çözmek yerine, standart sürüklenme-difüzyon, taşıyıcı hızının doğrudan yerel yönlendirici kuvvetler cinsinden ifade edilmesiyle elde edilir; bu süreçte momentum veya enerji için açık bir evrim denklemi korunmaz. Bu yaklaşım, daha yüksek dereceli momentum ve enerji taşıma etkilerinin gerekli olmadığı durumlarda uygundur.

5.1, BTE'nin başlangıcından itibaren sürüklenme-yayılma akımına kadar olan süreç.5.1, BTE'nin başlangıcından itibaren sürüklenme-yayılma akımına kadar olan süreç.

Gevşeme süresi yaklaşımını kullanarak Boltzmann taşıma denklemiyle başlıyoruz ve bu denklemde momentum gevşeme süresi \(\tau_p\) ile ifade edilmektedir.Gevşeme süresi yaklaşımını kullanarak Boltzmann taşıma denklemiyle başlıyoruz ve bu denklemde momentum gevşeme süresi \(\tau_p\) ile ifade edilmektedir.

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Momentum dengesini elde etmek için, tüm denklemi momentum benzeri ağırlık \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) ile çarpın (parabolik bir bant için eşdeğer olarak \(\hbar\mathbf{k}\)), ardından momentum uzayı üzerinde entegre edin:Momentum dengesini elde etmek için, tüm denklemi momentum benzeri ağırlık \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) ile çarpın (parabolik bir bant için eşdeğer olarak \(\hbar\mathbf{k}\)), ardından momentum uzayı üzerinde entegre edin:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Hız momentini, akımı ve basıncı belirleme5.2 Hız momentini, akımı ve basıncı belirleme

Birinci dereceden integral, cihaz ölçeğindeki taşıma denklemlerinde yer alan nicelikleri tanıtır. Öncelikle taşıyıcı yoğunluğunu ve ortalama taşıyıcı hızını şu şekilde tanımlayarak başlıyoruz:Birinci dereceden integral, cihaz ölçeğindeki taşıma denklemlerinde yer alan nicelikleri tanıtır. Öncelikle taşıyıcı yoğunluğunu ve ortalama taşıyıcı hızını şu şekilde tanımlayarak başlıyoruz:

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \] \[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Yukarıda tanımlanan \(\mathbf{u}\) hızı, ortalama (veya genel) taşıyıcı hızıdır. Belirli bir uzay noktasındaki taşıyıcı popülasyonunun net kaymasını temsil eder. Bireysel taşıyıcılar genellikle \(\mathbf{u}\)'den çok daha hızlı hareket eder ve bu yavaş toplu kaymanın üzerine rastgele termal hareketler bindirirler. Bu nedenle ortalama hız, bir taşıyıcının tipik hızı değil, tüm mikroskobik hareketler üzerinden ortalama alındıktan sonra kalan küçük artık hızdır.Yukarıda tanımlanan \(\mathbf{u}\) hızı, ortalama (veya genel) taşıyıcı hızıdır. Belirli bir uzay noktasındaki taşıyıcı popülasyonunun net kaymasını temsil eder. Bireysel taşıyıcılar genellikle \(\mathbf{u}\)'den çok daha hızlı hareket eder ve bu yavaş toplu kaymanın üzerine rastgele termal hareketler bindirirler. Bu nedenle ortalama hız, bir taşıyıcının tipik hızı değil, tüm mikroskobik hareketler üzerinden ortalama alındıktan sonra kalan küçük artık hızdır.

Bu ayrım son derece önemlidir. Rastgele termal hareket, ortalaması sıfır olduğu için elektrik akımına katkıda bulunmaz; oysa ortalama sürüklenme hızı \(\mathbf{u}\), elektrik alanları, konsantrasyon gradyanları ve sıcaklık gradyanları nedeniyle oluşan taşıyıcı hareketindeki dengesizliği ifade eder. Makroskopik akım yoğunluğunu belirleyen işte bu ortalama hızdır.Bu ayrım son derece önemlidir. Rastgele termal hareket, ortalaması sıfır olduğu için elektrik akımına katkıda bulunmaz; oysa ortalama sürüklenme hızı \(\mathbf{u}\), elektrik alanları, konsantrasyon gradyanları ve sıcaklık gradyanları nedeniyle oluşan taşıyıcı hareketindeki dengesizliği ifade eder. Makroskopik akım yoğunluğunu belirleyen işte bu ortalama hızdır.

Bu tanımlara göre, parçacık akısı \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) ve elektron akım yoğunluğu ise şudur:Bu tanımlara göre, parçacık akısı \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) ve elektron akım yoğunluğu ise şudur:

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \] \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Bu tanımları ilk an denklemine geri yerleştirmek, momentum uzayı integrallerinin tamamen \(n\), \(\mathbf{u}\) ve daha yüksek dereceli hız momentleri cinsinden yeniden yazılmasına olanak tanır. Özellikle, çarpışma terimi basitleşir, çünkü referans dağılımı \(f^0\), sıfır ortalama sürüklenme hızına sahip yerel bir denge durumunu temsil eder, böyleceBu tanımları ilk an denklemine geri yerleştirmek, momentum uzayı integrallerinin tamamen \(n\), \(\mathbf{u}\) ve daha yüksek dereceli hız momentleri cinsinden yeniden yazılmasına olanak tanır. Özellikle, çarpışma terimi basitleşir, çünkü referans dağılımı \(f^0\), sıfır ortalama sürüklenme hızına sahip yerel bir denge durumunu temsil eder, böylece

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \] \[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Sonuç olarak, çarpışma terimi yalnızca ortalama hıza orantılı bir momentum gevşeme terimine katkıda bulunur \(\mathbf{u}\).Sonuç olarak, çarpışma terimi yalnızca ortalama hıza orantılı bir momentum gevşeme terimine katkıda bulunur \(\mathbf{u}\).

Birinci dereceden denklemin geri kalan uzay-taşınım terimi, uzaydaki momentum akışını temsil eden \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\) biçimindeki integralleri içerir. Bu terimin fiziksel içeriğini daha açık hale getirmek için, taşıyıcı hızı ortalama bir kısma ve bir dalgalanmaya ayırıyoruz:Birinci dereceden denklemin geri kalan uzay-taşınım terimi, uzaydaki momentum akışını temsil eden \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\) biçimindeki integralleri içerir. Bu terimin fiziksel içeriğini daha açık hale getirmek için, taşıyıcı hızı ortalama bir kısma ve bir dalgalanmaya ayırıyoruz:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \] \[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Bu ayrıştırmayı ikinci hız momentine uygulayıp \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) ifadesini kullanarak momentum akısını, taşınım terimine ve dalgalanma terimine ayırabiliriz. Dalgalanma terimi, taşıyıcı basınç (veya gerilme) tensörü olarak tanımlanır.Bu ayrıştırmayı ikinci hız momentine uygulayıp \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) ifadesini kullanarak momentum akısını, taşınım terimine ve dalgalanma terimine ayırabiliriz. Dalgalanma terimi, taşıyıcı basınç (veya gerilme) tensörü olarak tanımlanır.

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \] \[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Fiziksel olarak, \(\mathbf{P}\) ortalama sürüklenme hızına göre hızdaki dalgalanmalarla ilişkili momentumun taşınımını temsil eder. Bu terimin diverjansı, basitleştirilmiş taşıma denklemlerinde difüzyon ve termal sürüş terimlerinin ortaya çıkmasına neden olur.Fiziksel olarak, \(\mathbf{P}\) ortalama sürüklenme hızına göre hızdaki dalgalanmalarla ilişkili momentumun taşınımını temsil eder. Bu terimin diverjansı, basitleştirilmiş taşıma denklemlerinde difüzyon ve termal sürüş terimlerinin ortaya çıkmasına neden olur.

Tüm katkları bir araya getirdiğimizde, birinci dereceden denklem şu şekilde yazılabilir:Tüm katkları bir araya getirdiğimizde, birinci dereceden denklem şu şekilde yazılabilir:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Bu denklem, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin birinci momenti kullanılarak doğrudan elde edilen genel momentum dengesidir. Henüz herhangi bir sürüklenme-difüzyon varsayımı yapılmamıştır; bu varsayımlar bir sonraki adımda devreye girer ve burada momentum dengesi yerel bir kuvvet dengesine indirgenir.Bu denklem, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin birinci momenti kullanılarak doğrudan elde edilen genel momentum dengesidir. Henüz herhangi bir sürüklenme-difüzyon varsayımı yapılmamıştır; bu varsayımlar bir sonraki adımda devreye girer ve burada momentum dengesi yerel bir kuvvet dengesine indirgenir.

5.3 Momentum dengesini kuvvet dengesine indirgeme5.3 Momentum dengesini kuvvet dengesine indirgeme

Sürüklenme-difüzyon modellemesinde, momentumun zaman içindeki değişimini veya mekânsal taşınımını açıkça incelemekle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine, taşıyıcı momentumunun uygulanan kuvvetlere göre yerel olarak uyum sağladığını varsayıyoruz; böylece herhangi bir geçici veya yerel olmayan momentum taşınım etkisini göz ardı edebiliriz. Bu varsayım altında, momentum dengesi, açık momentum taşınım ve atalet terimlerinin çıkarılmasıyla basitleştirilirken, kuvvet ve gevşeme terimleri olduğu gibi bırakılır.Sürüklenme-difüzyon modellemesinde, momentumun zaman içindeki değişimini veya mekânsal taşınımını açıkça incelemekle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine, taşıyıcı momentumunun uygulanan kuvvetlere göre yerel olarak uyum sağladığını varsayıyoruz; böylece herhangi bir geçici veya yerel olmayan momentum taşınım etkisini göz ardı edebiliriz. Bu varsayım altında, momentum dengesi, açık momentum taşınım ve atalet terimlerinin çıkarılmasıyla basitleştirilirken, kuvvet ve gevşeme terimleri olduğu gibi bırakılır.

Bu yaklaşımla, momentum dengesi şu şekilde basitleşir:Bu yaklaşımla, momentum dengesi şu şekilde basitleşir:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \] \[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Bu şekilde ifade edildiğinde, denklem yerel bir kuvvet dengesi olarak okunmalıdır: taşıyıcı hareketini sağlayan kuvvetler, saçılma yoluyla kaybedilen momentum ile dengelenir.Bu şekilde ifade edildiğinde, denklem yerel bir kuvvet dengesi olarak okunmalıdır: taşıyıcı hareketini sağlayan kuvvetler, saçılma yoluyla kaybedilen momentum ile dengelenir.

Kalan terim \(\nabla \cdot \mathbf{P}\), momentumun rastgele taşıyıcı hareketiyle nasıl yeniden dağıtıldığını temsil eder. \(\mathbf{P}\) tensörü, hız bileşenleri arasındaki korelasyonları kodlar ve genel olarak anizotropik momentum taşınımına olanak tanır. Birçok yarı iletken cihazda, taşıyıcı dağılımı hız uzayında izotropik olmaya yakındır. Bu durumda, hız dalgalanmaları için tercih edilen bir yön bulunmaz ve basınç tensörü, birim tensörle çarpılan bir skaler basınca indirgenir:Kalan terim \(\nabla \cdot \mathbf{P}\), momentumun rastgele taşıyıcı hareketiyle nasıl yeniden dağıtıldığını temsil eder. \(\mathbf{P}\) tensörü, hız bileşenleri arasındaki korelasyonları kodlar ve genel olarak anizotropik momentum taşınımına olanak tanır. Birçok yarı iletken cihazda, taşıyıcı dağılımı hız uzayında izotropik olmaya yakındır. Bu durumda, hız dalgalanmaları için tercih edilen bir yön bulunmaz ve basınç tensörü, birim tensörle çarpılan bir skaler basınca indirgenir:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \] \[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Fiziksel olarak bu, rastgele termal hareketin tüm yönlerde eşit derecede etkili olduğu anlamına gelir. Bu formül, momentum dengesi denklemine uygulandığında, basınç tensörünün diverjansı, skaler bir basıncın gradyanına indirgenir:Fiziksel olarak bu, rastgele termal hareketin tüm yönlerde eşit derecede etkili olduğu anlamına gelir. Bu formül, momentum dengesi denklemine uygulandığında, basınç tensörünün diverjansı, skaler bir basıncın gradyanına indirgenir:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \] \[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Bu terim, sürüklenme-difüzyon denklemlerindeki difüzyon ve termal sürüklemenin kaynağıdır. Bir sonraki bölümde, bu kuvvet dengesi denklemi ortalama taşıyıcı hızı \(\mathbf{u}\) için çözülerek doğrudan sürüklenme-difüzyon akımına ulaşılır.Bu terim, sürüklenme-difüzyon denklemlerindeki difüzyon ve termal sürüklemenin kaynağıdır. Bir sonraki bölümde, bu kuvvet dengesi denklemi ortalama taşıyıcı hızı \(\mathbf{u}\) için çözülerek doğrudan sürüklenme-difüzyon akımına ulaşılır.

5.4 Kuvvet dengesinden sürüklenme-difüzyon akımına5.4 Kuvvet dengesinden sürüklenme-difüzyon akımına

Şimdi, önceki bölümde türetilen, azaltılmış yerel momentum dengesine geri dönelim. Elektronlar için, itici kuvveti, hem elektrostatik potansiyeli hem de malzeme kaymalarını içeren iletim bandı eşiği \(E_c(\mathbf{r})\) cinsinden ifade etmek uygundur. Bu nedenle, elektronlar üzerindeki kuvveti şu şekilde yazabiliriz:Şimdi, önceki bölümde türetilen, azaltılmış yerel momentum dengesine geri dönelim. Elektronlar için, itici kuvveti, hem elektrostatik potansiyeli hem de malzeme kaymalarını içeren iletim bandı eşiği \(E_c(\mathbf{r})\) cinsinden ifade etmek uygundur. Bu nedenle, elektronlar üzerindeki kuvveti şu şekilde yazabiliriz:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \] \[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

burada \(E_c(\mathbf{r})\), bir referans değeri kullanılarak \(E_c = \chi - q\phi\) olarak ifade edilebilir; böylece elektron ilgisi veya elektrostatik potansiyeldeki mekânsal değişiklikler, taşıyıcıların harekete geçirilmesine doğal olarak katkıda bulunur. Bu ifadeyi, basitleştirilmiş momentum dengesi denklemine yerleştirdiğimizde şu sonuç elde edilir:burada \(E_c(\mathbf{r})\), bir referans değeri kullanılarak \(E_c = \chi - q\phi\) olarak ifade edilebilir; böylece elektron ilgisi veya elektrostatik potansiyeldeki mekânsal değişiklikler, taşıyıcıların harekete geçirilmesine doğal olarak katkıda bulunur. Bu ifadeyi, basitleştirilmiş momentum dengesi denklemine yerleştirdiğimizde şu sonuç elde edilir:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \] \[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Bu denklem, bant kenarı etkisiyle oluşan hareket, basınçla tetiklenen taşıma ve saçılma sonucu oluşan momentum kaybı arasındaki yerel dengeyi ifade eder. Ortalama taşıyıcı hızını bulmak için denklemin çözümü şu sonucu verir:Bu denklem, bant kenarı etkisiyle oluşan hareket, basınçla tetiklenen taşıma ve saçılma sonucu oluşan momentum kaybı arasındaki yerel dengeyi ifade eder. Ortalama taşıyıcı hızını bulmak için denklemin çözümü şu sonucu verir:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \] \[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Elektron akım yoğunluğunun tanımını kullanarak, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), aşağıdaki sonucu elde ederiz:Elektron akım yoğunluğunun tanımını kullanarak, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), aşağıdaki sonucu elde ederiz:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \] \[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Mobilite \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\) ile tanışın, bu sayede artık...Mobilite \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\) ile tanışın, bu sayede artık...

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \] \[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

Bu aşamada, akım, basınç gradyanı \(\nabla p\) cinsinden ifade edilir ve henüz taşıyıcı istatistikleri hakkında herhangi bir varsayımda bulunulmamıştır. Devam etmek için, basıncı ve yoğunluğu, temel dağılım fonksiyonunun momentleri olarak ifade ediyoruz.Bu aşamada, akım, basınç gradyanı \(\nabla p\) cinsinden ifade edilir ve henüz taşıyıcı istatistikleri hakkında herhangi bir varsayımda bulunulmamıştır. Devam etmek için, basıncı ve yoğunluğu, temel dağılım fonksiyonunun momentleri olarak ifade ediyoruz.

Taşıyıcı yoğunluğu ve basıncı şu şekilde ifade edilebilir:Taşıyıcı yoğunluğu ve basıncı şu şekilde ifade edilebilir:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \] \[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

burada \(g(E)\) durum yoğunluğunu ve \(f(E)\) Fermi-Dirac dağılımını temsil etmektedir. Parabolik bir bant için, bu integraller standart Fermi-Dirac integrallerine indirgenir.burada \(g(E)\) durum yoğunluğunu ve \(f(E)\) Fermi-Dirac dağılımını temsil etmektedir. Parabolik bir bant için, bu integraller standart Fermi-Dirac integrallerine indirgenir.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \] \[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

azaltılmış kimyasal potansiyele sahip \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) ve \(j\) derecesindeki tam Fermi-Dirac integrali olan \(F_j(\eta)\).azaltılmış kimyasal potansiyele sahip \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) ve \(j\) derecesindeki tam Fermi-Dirac integrali olan \(F_j(\eta)\).

Basıncın gradyanını almak şu sonucu verir:Basıncın gradyanını almak şu sonucu verir:

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \] \[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Bu ifadeyi mevcut denklemde yerine koyduğumuzda, difüzyonun ve termal etkinin, genelleştirilmiş bir Einstein ilişkisi tarafından yönetildiği görülür.Bu ifadeyi mevcut denklemde yerine koyduğumuzda, difüzyonun ve termal etkinin, genelleştirilmiş bir Einstein ilişkisi tarafından yönetildiği görülür.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \] \[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Bu ifade, parabolik bir bant için geçerlidir ve dejenerasyonsuz durumdan güçlü dejenerasyon durumuna kadar geçerliliğini korur. Dejenerasyonsuz durumda (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)) ve genelleştirilmiş Einstein ilişkisi, bilinen formuna indirgenir.Bu ifade, parabolik bir bant için geçerlidir ve dejenerasyonsuz durumdan güçlü dejenerasyon durumuna kadar geçerliliğini korur. Dejenerasyonsuz durumda (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)) ve genelleştirilmiş Einstein ilişkisi, bilinen formuna indirgenir.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \] \[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

İlk terim, iletim bandı kenarının mekânsal değişimlerinden kaynaklanan sürüklenme akımını temsil eder ve bu, hem elektrostatik alanları hem de heterojonksiyon bant kaymalarını içerir. İkinci terim ise basınç gradyanını içerir ve difüzyonun ve termal sürüklenmenin kaynağıdır.İlk terim, iletim bandı kenarının mekânsal değişimlerinden kaynaklanan sürüklenme akımını temsil eder ve bu, hem elektrostatik alanları hem de heterojonksiyon bant kaymalarını içerir. İkinci terim ise basınç gradyanını içerir ve difüzyonun ve termal sürüklenmenin kaynağıdır.

Dejenerasyona uğramayan durumda, taşıyıcı basıncı \(p = n k_B T\) değerindedir, böyleceDejenerasyona uğramayan durumda, taşıyıcı basıncı \(p = n k_B T\) değerindedir, böylece

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \] \[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Bu ifadeyi mevcut denklemde yerine koyduğumuzda şu sonuç elde edilir:Bu ifadeyi mevcut denklemde yerine koyduğumuzda şu sonuç elde edilir:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \] \[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Einstein ilişkisini kullanarak, dejenere olmayan taşıyıcılar için \(D_n = \mu_n k_B T / q\) formülünde belirtildiği gibi, akım, açık bir şekilde ifade edilen termal sürüş ile birlikte, bilinen sürüklenme-difüzyon formunda yazılabilir:Einstein ilişkisini kullanarak, dejenere olmayan taşıyıcılar için \(D_n = \mu_n k_B T / q\) formülünde belirtildiği gibi, akım, açık bir şekilde ifade edilen termal sürüş ile birlikte, bilinen sürüklenme-difüzyon formunda yazılabilir:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \] \[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

Heteroyapılarda, etkin durum yoğunluğu \(N_c(\mathbf{r},T)\), etkin kütle gibi bant yapısı parametrelerindeki değişiklikler nedeniyle uzaysal olarak değişebilir. Bunu takiben yapılan kendi kendine tutarlı bir azalma, \(\nabla\ln N_c\) ile orantılı ek bir malzeme kaynaklı terim oluşturur.Heteroyapılarda, etkin durum yoğunluğu \(N_c(\mathbf{r},T)\), etkin kütle gibi bant yapısı parametrelerindeki değişiklikler nedeniyle uzaysal olarak değişebilir. Bunu takiben yapılan kendi kendine tutarlı bir azalma, \(\nabla\ln N_c\) ile orantılı ek bir malzeme kaynaklı terim oluşturur.

Bu katkıyı da dahil ederek, cihaz simülatörlerinde kullanılan sürüklenme-difüzyon akımı şu şekilde ifade edilebilir:Bu katkıyı da dahil ederek, cihaz simülatörlerinde kullanılan sürüklenme-difüzyon akımı şu şekilde ifade edilebilir:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \] \[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

Bu şekilde ifade edildiğinde, tüm hareket mekanizmaları aynı momentum dengesi çerçevesinden doğal olarak türetilir. Elektrostatik alanlar, heterojunction bant farkları, sıcaklık gradyanları ve malzeme parametrelerindeki mekânsal değişiklikler, tam olarak aynı temelde devreye girer.Bu şekilde ifade edildiğinde, tüm hareket mekanizmaları aynı momentum dengesi çerçevesinden doğal olarak türetilir. Elektrostatik alanlar, heterojunction bant farkları, sıcaklık gradyanları ve malzeme parametrelerindeki mekânsal değişiklikler, tam olarak aynı temelde devreye girer.

Tamamen benzer bir türetme yöntemi delikler için de geçerlidir. Valans bandı kenarı \(E_v(\mathbf{r})\) ve delik istatistiklerini kullanarak aynı adımları tekrarlamak, delik akım yoğunluğunu verir.Tamamen benzer bir türetme yöntemi delikler için de geçerlidir. Valans bandı kenarı \(E_v(\mathbf{r})\) ve delik istatistiklerini kullanarak aynı adımları tekrarlamak, delik akım yoğunluğunu verir.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \] \[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

burada \(N_v(\mathbf{r},T)\), valans bandının etkin durum yoğunluğunu temsil etmektedir. Difüzyon ve termal sürüş terimlerinin zıt işaretleri, boşlukların pozitif yükünü yansıtır.burada \(N_v(\mathbf{r},T)\), valans bandının etkin durum yoğunluğunu temsil etmektedir. Difüzyon ve termal sürüş terimlerinin zıt işaretleri, boşlukların pozitif yükünü yansıtır.

• Termal sürünme (termodifüzyon / Seebeck benzeri etki): taşıyıcı sıcaklığındaki mekânsal değişiklikler, yerel yarı denge dağılımını değiştirir ve bir elektrik alanının olmaması durumunda bile \(\nabla T\) ile orantılı bir net taşıyıcı akışı oluşturur.Termal sürünme (termodifüzyon / Seebeck benzeri etki): taşıyıcı sıcaklığındaki mekânsal değişiklikler, yerel yarı denge dağılımını değiştirir ve bir elektrik alanının olmaması durumunda bile \(\nabla T\) ile orantılı bir net taşıyıcı akışı oluşturur.
• Durum yoğunluğu/etkili kütle ile sağlanan etki: heteroyapılarda veya uzaysal olarak değişen malzemelerde, bant yapısı parametrelerindeki (örneğin, etkili kütle) gradyanlar, \(N_c\) ve \(N_v\) değerlerinde gradyanlara yol açar. Bu terimler, malzeme arayüzlerinde hayati öneme sahiptir ve taşıyıcı taşınımının temel istatistiklerle ve bant yapısıyla uyumlu kalmasını sağlar.Durum yoğunluğu/etkili kütle ile sağlanan etki: heteroyapılarda veya uzaysal olarak değişen malzemelerde, bant yapısı parametrelerindeki (örneğin, etkili kütle) gradyanlar, \(N_c\) ve \(N_v\) değerlerinde gradyanlara yol açar. Bu terimler, malzeme arayüzlerinde hayati öneme sahiptir ve taşıyıcı taşınımının temel istatistiklerle ve bant yapısıyla uyumlu kalmasını sağlar.

7. Enerji taşınımı / sıcak taşıyıcı uzantısı7. Enerji taşınımı / sıcak taşıyıcı uzantısı

Daha önce türetilen sürüklenme-difüzyon modelinde, taşıyıcıların hareketi, parçacık sürekliliği ve cebirsel bir akım yasasına indirgenmiş bir momentum dengesi ile açıklanır. Taşıyıcı enerjisinin, kafesle hızla dengeye geldiği varsayılır, bu nedenle bu enerji için açık bir denklem çözülmez.Daha önce türetilen sürüklenme-difüzyon modelinde, taşıyıcıların hareketi, parçacık sürekliliği ve cebirsel bir akım yasasına indirgenmiş bir momentum dengesi ile açıklanır. Taşıyıcı enerjisinin, kafesle hızla dengeye geldiği varsayılır, bu nedenle bu enerji için açık bir denklem çözülmez.

Bu varsayımın geçerliliğinden vazgeçildiğinde, Boltzmann moment hiyerarşisindeki bir sonraki denklem korunmalıdır: enerji dengesi denklemi. Bu denklem, taşıyıcıların elektrik alanlarından ve bant kenarı gradyanlarından nasıl enerji kazandığını, bu enerjiyi cihaz içinde nasıl taşıdığını ve kafes yapısına nasıl kaybettiğini belirler.Bu varsayımın geçerliliğinden vazgeçildiğinde, Boltzmann moment hiyerarşisindeki bir sonraki denklem korunmalıdır: enerji dengesi denklemi. Bu denklem, taşıyıcıların elektrik alanlarından ve bant kenarı gradyanlarından nasıl enerji kazandığını, bu enerjiyi cihaz içinde nasıl taşıdığını ve kafes yapısına nasıl kaybettiğini belirler.

7.1 Boltzmann denkleminin ikinci momenti7.1 Boltzmann denkleminin ikinci momenti

Enerji dengesi, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin tek parçacıklı enerjiyle \(W(\mathbf{k})\) çarpılması ve momentum uzayı üzerinde entegre edilmesiyle elde edilir. Elektronlar için, bir durumun enerjisi şu şekilde ifade edilir:Enerji dengesi, Boltzmann Taşıma Denklemi'nin tek parçacıklı enerjiyle \(W(\mathbf{k})\) çarpılması ve momentum uzayı üzerinde entegre edilmesiyle elde edilir. Elektronlar için, bir durumun enerjisi şu şekilde ifade edilir:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \] \[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

burada \(E_c(\mathbf{r})\), iletim bandının sınırı ve \(\varepsilon(\mathbf{k})\), bant sınırına göre hesaplanan kinetik enerjidir (parabolik bir bant için, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).burada \(E_c(\mathbf{r})\), iletim bandının sınırı ve \(\varepsilon(\mathbf{k})\), bant sınırına göre hesaplanan kinetik enerjidir (parabolik bir bant için, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Bir parçacık başına düşen ortalama taşıyıcı enerjisini şu şekilde tanımlayalım:Bir parçacık başına düşen ortalama taşıyıcı enerjisini şu şekilde tanımlayalım:

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \] \[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

ilgili enerji yoğunluğu \(n\bar W\) değerindedir. Bu nicelik, enerji için tıpkı \(n\)'nin parçacık sayısı için oynadığı rolü oynar.ilgili enerji yoğunluğu \(n\bar W\) değerindedir. Bu nicelik, enerji için tıpkı \(n\)'nin parçacık sayısı için oynadığı rolü oynar.

7.2 Enerji akısı ve sürüklenme-difüzyon akımları ile ilişkisi7.2 Enerji akısı ve sürüklenme-difüzyon akımları ile ilişkisi

İkinci momentteki uzay-taşınım terimi, \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) biçimindeki integralleri içerir ve bu durum, enerji akısının tanımını gerektirir.İkinci momentteki uzay-taşınım terimi, \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) biçimindeki integralleri içerir ve bu durum, enerji akısının tanımını gerektirir.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Bu miktar, parçacık akısına \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) ve dolayısıyla akım yoğunluğuna \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\) doğrudan benzerdir. Bu nedenle, enerji taşınımı doğal olarak taşıyıcı taşınımıyla ilişkilidir.Bu miktar, parçacık akısına \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) ve dolayısıyla akım yoğunluğuna \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\) doğrudan benzerdir. Bu nedenle, enerji taşınımı doğal olarak taşıyıcı taşınımıyla ilişkilidir.

7.3 Elektrik alanın ve bant kenarı gradyanlarının yaptığı iş7.3 Elektrik alanın ve bant kenarı gradyanlarının yaptığı iş

Boltzmann denklemindeki kuvvet terimi, ikinci momentte belirgin bir etki yaratır. Momentum uzayında kısmi integrasyon ve \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\) özdeşliği kullanılarak şu sonuç elde edilir:Boltzmann denklemindeki kuvvet terimi, ikinci momentte belirgin bir etki yaratır. Momentum uzayında kısmi integrasyon ve \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\) özdeşliği kullanılarak şu sonuç elde edilir:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \] \[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Elektronlar üzerindeki kuvveti \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\) olarak ifade ettiğimizde, bu terim şu hale gelir:Elektronlar üzerindeki kuvveti \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\) olarak ifade ettiğimizde, bu terim şu hale gelir:

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \] \[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Bu, taşıyıcı popülasyon üzerinde yapılan elektrik işidir. \(E_c=-q\phi\) özel durumunda, bu durum, bilinen Joule ısınma terimine \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\) indirgenir.Bu, taşıyıcı popülasyon üzerinde yapılan elektrik işidir. \(E_c=-q\phi\) özel durumunda, bu durum, bilinen Joule ısınma terimine \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\) indirgenir.

7.4 Enerji dengesi denklemi ve sürüklenme-difüzyon ile ilişkisi7.4 Enerji dengesi denklemi ve sürüklenme-difüzyon ile ilişkisi

Tüm katkıları bir araya getirdiğimizde, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılabilir:Tüm katkıları bir araya getirdiğimizde, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılabilir:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Bu denklem, akım yoğunluğu \(\mathbf{J}_n\) aracılığıyla doğrudan sürüklenme-difüzyon modeliyle ilişkilidir. Ek, özel bir ısıtma terimine gerek yoktur: elektriksel güç kaybı, akım yasasında görünen aynı bant kenarı etkisiyle doğal olarak ortaya çıkar.Bu denklem, akım yoğunluğu \(\mathbf{J}_n\) aracılığıyla doğrudan sürüklenme-difüzyon modeliyle ilişkilidir. Ek, özel bir ısıtma terimine gerek yoktur: elektriksel güç kaybı, akım yasasında görünen aynı bant kenarı etkisiyle doğal olarak ortaya çıkar.

7.5 Standart sapma-yayılma limitiyle ilişkisi7.5 Standart sapma-yayılma limitiyle ilişkisi

Bunun, bilinen sapma-difüzyon modelleriyle nasıl bir bağlantısı olduğunu görmek için, dejenerasyona uğramayan, denge durumuna yakın bir durumu ele alalım. Ortalama enerjiye yapılan kinetik katkı şudur:Bunun, bilinen sapma-difüzyon modelleriyle nasıl bir bağlantısı olduğunu görmek için, dejenerasyona uğramayan, denge durumuna yakın bir durumu ele alalım. Ortalama enerjiye yapılan kinetik katkı şudur:

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \] \[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

öyle ki / böylece / kiöyle ki / böylece / ki

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \] \[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Hızlı enerji gevşemesiyle birlikte kararlı durumdaki sürüklenme-difüzyon modelinde, \(T_e \approx T_L\) ve \(\bar W \approx \bar W_0\) durumlarında, zaman türevi \(\partial_t(n\bar W)\) sıfıra iner ve enerji denklemi, elektriksel ısınma ile kafes üzerindeki enerji kaybı arasındaki dengeye indirgenir.Hızlı enerji gevşemesiyle birlikte kararlı durumdaki sürüklenme-difüzyon modelinde, \(T_e \approx T_L\) ve \(\bar W \approx \bar W_0\) durumlarında, zaman türevi \(\partial_t(n\bar W)\) sıfıra iner ve enerji denklemi, elektriksel ısınma ile kafes üzerindeki enerji kaybı arasındaki dengeye indirgenir.

Enerji dengesi denklemini korumak, bu kısıtlamayı ortadan kaldırır. Taşıyıcı sıcaklığı \(T_e\), dinamik bir değişken haline gelir ve modelin, daha önce türetilen sürüklenme-difüzyon çerçevesiyle tam uyumlu kalırken, alanla ısıtma, hızın aşırı değerlere ulaşması ve dengesiz taşıma gibi durumları yakalamasına olanak tanır.Enerji dengesi denklemini korumak, bu kısıtlamayı ortadan kaldırır. Taşıyıcı sıcaklığı \(T_e\), dinamik bir değişken haline gelir ve modelin, daha önce türetilen sürüklenme-difüzyon çerçevesiyle tam uyumlu kalırken, alanla ısıtma, hızın aşırı değerlere ulaşması ve dengesiz taşıma gibi durumları yakalamasına olanak tanır.

Tüm bu unsurları bir araya getirdiğimizde, sürüklenme-difüzyon temelli bir çözümleyicide uygulanan enerji dengesi denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:Tüm bu unsurları bir araya getirdiğimizde, sürüklenme-difüzyon temelli bir çözümleyicide uygulanan enerji dengesi denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Burada \(T_e\) taşıyıcı (elektron) sıcaklığı, \(T_L\) kafes sıcaklığı, \(\kappa\) taşıyıcı termal iletkenliği ve \(\tau_W\) enerji gevşeme süresidir. Bu denklem, Poisson denklemi, taşıyıcı süreklilik denklemleri ve sürüklenme-difüzyon akım ilişkileri ile kendi kendine tutarlı bir şekilde çözülür.Burada \(T_e\) taşıyıcı (elektron) sıcaklığı, \(T_L\) kafes sıcaklığı, \(\kappa\) taşıyıcı termal iletkenliği ve \(\tau_W\) enerji gevşeme süresidir. Bu denklem, Poisson denklemi, taşıyıcı süreklilik denklemleri ve sürüklenme-difüzyon akım ilişkileri ile kendi kendine tutarlı bir şekilde çözülür.

8. OghmaNano'da çözülen son birleştirilmiş model8. OghmaNano'da çözülen son birleştirilmiş model

OghmaNano, birbirine bağlı kısmi diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemi çözer. Kullanılan denklemlerin tam kümesi, seçilen fiziksel modele bağlıdır (yalnızca sürüklenme-difüzyon veya enerji taşınımı ile birlikte sürüklenme-difüzyon). Aşağıdaki tabloda denklemler ve ne zaman kullanıldıkları özetlenmiştir.OghmaNano, birbirine bağlı kısmi diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemi çözer. Kullanılan denklemlerin tam kümesi, seçilen fiziksel modele bağlıdır (yalnızca sürüklenme-difüzyon veya enerji taşınımı ile birlikte sürüklenme-difüzyon). Aşağıdaki tabloda denklemler ve ne zaman kullanıldıkları özetlenmiştir.