Yarı İletkenlerdeki Sürüklenme-Difüzyon Sürecinde Einstein İlişkisiYarı İletkenlerdeki Sürüklenme-Difüzyon Sürecinde Einstein İlişkisi

1. Einstein İlişkileri Nedir?1. Einstein İlişkileri Nedir?

Bir yarı iletkenin içinde, yük taşıyıcıları iki mekanizma aracılığıyla taşınır: enerji bantlarındaki gradyanlardan kaynaklanan sürüklenme ve taşıyıcı yoğunluğundaki gradyanlardan kaynaklanan difüzyon. Einstein ilişkileri, ilgili hareketlilik ve difüzyon katsayılarını birbirine bağlar; böylece termal dengede bu iki mekanizma doğru bir şekilde dengelenir. Elektronlar ve boşluklar için geçerli olan sürüklenme-difüzyon denklemleri şunlardır:Bir yarı iletkenin içinde, yük taşıyıcıları iki mekanizma aracılığıyla taşınır: enerji bantlarındaki gradyanlardan kaynaklanan sürüklenme ve taşıyıcı yoğunluğundaki gradyanlardan kaynaklanan difüzyon. Einstein ilişkileri, ilgili hareketlilik ve difüzyon katsayılarını birbirine bağlar; böylece termal dengede bu iki mekanizma doğru bir şekilde dengelenir. Elektronlar ve boşluklar için geçerli olan sürüklenme-difüzyon denklemleri şunlardır:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \]

Burada \(\boldsymbol{J}_n\) ve \(\boldsymbol{J}_p\), geleneksel elektron ve boşluk akım yoğunluklarıdır; \(q\), pozitif temel yüktür; \(n\) ve \(p\), serbest taşıyıcı yoğunluklarıdır; \(\mu_n\) ve \(\mu_p\), hareketliliklerdir; \(D_n\) ve \(D_p\) ise difüzyon katsayılarıdır. \(E_c\) ve \(E_v\), iletim ve değerlik bandı kenar enerjileridir ve bunlar joule cinsindendir; bu nedenle, bunların gradyanları, açık elektrik alan teriminin yerine kullanılır. Eğer bant kenarları volt cinsinden (enerji bölü \(q\)) saklanırsa, eşdeğer sürüklenme terimi \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\) olur ve boşluklar için de benzer şekilde hesaplama yapılır. Burada verilen ifadeler, izotermal taşıma ve yerel olarak sabit bant yapısı varsayımına dayanır; sıcaklık gradyanları ve mekânsal olarak değişen malzeme özellikleri için ek dikkat gereklidir. Arka plan bilgisi için Elektrostatik, Yük taşıyıcı hareketliliği ve Tam sürüklenme-difüzyon türetmesi kaynaklarına bakılabilir.Burada \(\boldsymbol{J}_n\) ve \(\boldsymbol{J}_p\), geleneksel elektron ve boşluk akım yoğunluklarıdır; \(q\), pozitif temel yüktür; \(n\) ve \(p\), serbest taşıyıcı yoğunluklarıdır; \(\mu_n\) ve \(\mu_p\), hareketliliklerdir; \(D_n\) ve \(D_p\) ise difüzyon katsayılarıdır. \(E_c\) ve \(E_v\), iletim ve değerlik bandı kenar enerjileridir ve bunlar joule cinsindendir; bu nedenle, bunların gradyanları, açık elektrik alan teriminin yerine kullanılır. Eğer bant kenarları volt cinsinden (enerji bölü \(q\)) saklanırsa, eşdeğer sürüklenme terimi \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\) olur ve boşluklar için de benzer şekilde hesaplama yapılır. Burada verilen ifadeler, izotermal taşıma ve yerel olarak sabit bant yapısı varsayımına dayanır; sıcaklık gradyanları ve mekânsal olarak değişen malzeme özellikleri için ek dikkat gereklidir. Arka plan bilgisi için Elektrostatik, Yük taşıyıcı hareketliliği ve Tam sürüklenme-difüzyon türetmesi kaynaklarına bakılabilir.

Her denklemde iki terim bulunur. Kırmızı renkli "sürüklenme terimi", bant kenarı eğimiyle tetiklenen taşıma sürecini açıklar; mavi renkli "difüzyon terimi" ise yoğunluk farklarıyla tetiklenen taşıma sürecini açıklar. ?? şekilinde, elektronlar iletkenlik bandı eğimi boyunca aşağı doğru hareket eder ve sağ tarafta birikir. Difüzyon, onları daha düşük yoğunluklu bölgeye doğru geri iter. Elektronlar geleneksel elektron akımının tersi yönde hareket etse de, akım katkıları zıt yöndedir ve denge durumunda birbirini nötrleştirir.Her denklemde iki terim bulunur. Kırmızı renkli "sürüklenme terimi", bant kenarı eğimiyle tetiklenen taşıma sürecini açıklar; mavi renkli "difüzyon terimi" ise yoğunluk farklarıyla tetiklenen taşıma sürecini açıklar. ?? şekilinde, elektronlar iletkenlik bandı eğimi boyunca aşağı doğru hareket eder ve sağ tarafta birikir. Difüzyon, onları daha düşük yoğunluklu bölgeye doğru geri iter. Elektronlar geleneksel elektron akımının tersi yönde hareket etse de, akım katkıları zıt yöndedir ve denge durumunda birbirini nötrleştirir.

Termal dengede olan ve içsel bir elektrik alanı içeren bir p–n birleşimi de dahil olmak üzere, ışıklandırılmamış bir cihazda, net elektron ve boşluk akımlarının her biri yerel olarak sıfır olmalıdır:Termal dengede olan ve içsel bir elektrik alanı içeren bir p–n birleşimi de dahil olmak üzere, ışıklandırılmamış bir cihazda, net elektron ve boşluk akımlarının her biri yerel olarak sıfır olmalıdır:

\[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \] \[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \]

Einstein ilişkileri taşıyıcı istatistikleriyle uyumsuzsa, sürüklenme ve difüzyonun birbirini nötrleştirmesi gerekmez: bu durumda bir simülasyon, sıfır uygulanan voltajda yanlış bir karanlık akım veya karanlık akım-voltaj eğrisinde bir kayma öngörebilir; bu durum Şekil ??'de gösterilmiştir. Bu durum, özellikle çok küçük akımların simülasyonu yapıldığında ciddi bir sorun teşkil eder. Cihaza ışık tutulması veya başka bir şekilde enerji verilmesi durumunda, yalnızca sıfır uygulanan gerilim tek başına denge anlamına gelmez; burada belirtilen sıfır akım ifadesi, karanlık ve termal olarak dengelenmiş cihaza aittir.Einstein ilişkileri taşıyıcı istatistikleriyle uyumsuzsa, sürüklenme ve difüzyonun birbirini nötrleştirmesi gerekmez: bu durumda bir simülasyon, sıfır uygulanan voltajda yanlış bir karanlık akım veya karanlık akım-voltaj eğrisinde bir kayma öngörebilir; bu durum Şekil ??'de gösterilmiştir. Bu durum, özellikle çok küçük akımların simülasyonu yapıldığında ciddi bir sorun teşkil eder. Cihaza ışık tutulması veya başka bir şekilde enerji verilmesi durumunda, yalnızca sıfır uygulanan gerilim tek başına denge anlamına gelmez; burada belirtilen sıfır akım ifadesi, karanlık ve termal olarak dengelenmiş cihaza aittir.

Genellikle kullanılan, dejenere olmayan (Boltzmann) durumda, Einstein ilişkileri şu şekildedir:Genellikle kullanılan, dejenere olmayan (Boltzmann) durumda, Einstein ilişkileri şu şekildedir:

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \]

Burada \(k_B\), Boltzmann sabiti ve \(T\), mutlak sıcaklıktır. \(k_BT/q\) oranı, termal voltajdır (yaklaşık olarak 300 K'de 25,9 mV). Dolayısıyla, daha yüksek hareketlilik, orantılı olarak daha yüksek bir difüzyon katsayısı gerektirir; bu iki özellik, tutarlı bir cihaz modelinde birbirinden bağımsız olarak seçilemez. Aşağıdaki bölümlerde bu ifade türetilecek ve dejenerasyonlu veya parabolik olmayan bantlar için ne gibi değişiklikler olduğu açıklanacaktır.Burada \(k_B\), Boltzmann sabiti ve \(T\), mutlak sıcaklıktır. \(k_BT/q\) oranı, termal voltajdır (yaklaşık olarak 300 K'de 25,9 mV). Dolayısıyla, daha yüksek hareketlilik, orantılı olarak daha yüksek bir difüzyon katsayısı gerektirir; bu iki özellik, tutarlı bir cihaz modelinde birbirinden bağımsız olarak seçilemez. Aşağıdaki bölümlerde bu ifade türetilecek ve dejenerasyonlu veya parabolik olmayan bantlar için ne gibi değişiklikler olduğu açıklanacaktır.

2. Basit Bir Türetme: Klasik Einstein İlişkisi2. Basit Bir Türetme: Klasik Einstein İlişkisi

Tekdüze, izotermal ve dejenerasyona uğramamış bir yarı iletkendeki elektronları düşünelim. Termal dengede elektron Fermi seviyesi \(E_F\), uzaysal olarak sabittir ve taşıyıcı yoğunluğu Boltzmann dağılımını izler. Boltzmann ve Fermi-Dirac dağılımları arasındaki fark Fermi-Dirac ve Maxwell-Boltzmann istatistikleri adlı çalışmada tartışılmıştır.Tekdüze, izotermal ve dejenerasyona uğramamış bir yarı iletkendeki elektronları düşünelim. Termal dengede elektron Fermi seviyesi \(E_F\), uzaysal olarak sabittir ve taşıyıcı yoğunluğu Boltzmann dağılımını izler. Boltzmann ve Fermi-Dirac dağılımları arasındaki fark Fermi-Dirac ve Maxwell-Boltzmann istatistikleri adlı çalışmada tartışılmıştır.

\[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \] \[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \]

Burada, \(E_c\) iletim bandının eşiği ve \(N_c\) ise iletim bandının etkin durum yoğunluğu ifade edilmektedir. Sabit \(N_c\) ve \(T\) değerleri kullanılarak, uzaysal gradyan alındığında şu sonuç elde edilir:Burada, \(E_c\) iletim bandının eşiği ve \(N_c\) ise iletim bandının etkin durum yoğunluğu ifade edilmektedir. Sabit \(N_c\) ve \(T\) değerleri kullanılarak, uzaysal gradyan alındığında şu sonuç elde edilir:

\[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \] \[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \]

Bu yoğunluk gradyanını doğrudan elektron akımına uygulayarak ve iletim bandı gradyanı gösterimini kullanarak şu sonuç elde edilir:Bu yoğunluk gradyanını doğrudan elektron akımına uygulayarak ve iletim bandı gradyanı gösterimini kullanarak şu sonuç elde edilir:

\[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \] \[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \]

Çünkü denge akımının, içinde yerleşik bir alanın bulunduğu durumlarda bile sıfır olması gerektiğinden, parantez içindeki ifadenin sıfır olması gerekir. Bu nedenleÇünkü denge akımının, içinde yerleşik bir alanın bulunduğu durumlarda bile sıfır olması gerektiğinden, parantez içindeki ifadenin sıfır olması gerekir. Bu nedenle

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \]

Deliklerin varlığına dair argümanı tekrarlamak \(D_p=\mu_p k_BT/q\) ifadesini verir. Bu, bilinen klasik Einstein ilişkisidir. Genellikle parabolik bantlar kullanılarak türetilir, ancak burada belirleyici yaklaşım, Boltzmann (dejenere olmayan) taşıyıcı istatistikleridir: taşıyıcılar o kadar seyreltiktir ki, mevcut durumların doluluk oranı küçüktür.Deliklerin varlığına dair argümanı tekrarlamak \(D_p=\mu_p k_BT/q\) ifadesini verir. Bu, bilinen klasik Einstein ilişkisidir. Genellikle parabolik bantlar kullanılarak türetilir, ancak burada belirleyici yaklaşım, Boltzmann (dejenere olmayan) taşıyıcı istatistikleridir: taşıyıcılar o kadar seyreltiktir ki, mevcut durumların doluluk oranı küçüktür.

3. Genelleştirilmiş Einstein İlişkisi3. Genelleştirilmiş Einstein İlişkisi

Basit sonuç her zaman geçerli olmayabilir. Yüksek oranda katkı maddesi içeren malzemelerde veya Fermi seviyesinin bir enerji bandına yaklaştığı veya bu banda girdiği durumlarda, taşıyıcılar Boltzmann yaklaşımı yerine Fermi-Dirac istatistiklerine uyar. Bu durumda taşıyıcı yoğunluğu, Fermi seviyesinin basit bir üstel fonksiyonu değildir. Durum yoğunluğu ayrıca parabolik olmayan, düzensiz veya bir bant yapısı hesaplamasından sayısal olarak elde edilmiş olabilir. Taşıyıcı yoğunluğu hesaplamasının kendisi Yük taşıyıcı yoğunluğu bölümünde açıklanmıştır.Basit sonuç her zaman geçerli olmayabilir. Yüksek oranda katkı maddesi içeren malzemelerde veya Fermi seviyesinin bir enerji bandına yaklaştığı veya bu banda girdiği durumlarda, taşıyıcılar Boltzmann yaklaşımı yerine Fermi-Dirac istatistiklerine uyar. Bu durumda taşıyıcı yoğunluğu, Fermi seviyesinin basit bir üstel fonksiyonu değildir. Durum yoğunluğu ayrıca parabolik olmayan, düzensiz veya bir bant yapısı hesaplamasından sayısal olarak elde edilmiş olabilir. Taşıyıcı yoğunluğu hesaplamasının kendisi Yük taşıyıcı yoğunluğu bölümünde açıklanmıştır.

Elektron yoğunluğunun, sabit bir sıcaklıkta ve yerel durum yoğunluğunun sabit tutulduğu durumda, enerji farkına \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\) bağlı olmasına izin verin: \(n=n(\xi_n,T)\). Elektronun sözde Fermi seviyesi \(E_{Fn}\), denge durumunda sabittir. Bu nedenle, uzaysal gradyan alındığında şu sonuç elde edilir:Elektron yoğunluğunun, sabit bir sıcaklıkta ve yerel durum yoğunluğunun sabit tutulduğu durumda, enerji farkına \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\) bağlı olmasına izin verin: \(n=n(\xi_n,T)\). Elektronun sözde Fermi seviyesi \(E_{Fn}\), denge durumunda sabittir. Bu nedenle, uzaysal gradyan alındığında şu sonuç elde edilir:

\[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \] \[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \]

Bu sonucu mevcut denkleme yerleştirmek ve denge akımının sıfır olmasını şart koşmak, genelleştirilmiş Einstein ilişkisini verir:Bu sonucu mevcut denkleme yerleştirmek ve denge akımının sıfır olmasını şart koşmak, genelleştirilmiş Einstein ilişkisini verir:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \] \[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \]

Delikler için \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\) değerini tanımlayın; bu değer, delik sayısıyla birlikte artar. Ardından eşdeğer ilişki şu şekilde olur:Delikler için \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\) değerini tanımlayın; bu değer, delik sayısıyla birlikte artar. Ardından eşdeğer ilişki şu şekilde olur:

\[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \] \[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \]

Bu denklemlerin anlamlı bir fiziksel yorumu vardır: türev, taşıyıcı popülasyonunun, kimyasal potansiyeli değiştiğinde ne kadar kolay değiştiğini gösterir. Sözde Fermi enerjisindeki küçük bir değişikliğe karşılık gelen yoğunlukta büyük bir değişim, büyük bir türev ve daha küçük bir \(D/\mu\) değeri anlamına gelir. Eğer enerji seviyeleri dolarsa ve yoğunluk daha az değişirse, bu oran artar. Bu nedenle Einstein ilişkisi, sadece hareketliliği çarpan olarak kullanan sayısal bir faktör değil, taşıyıcı istatistiklerinin ve enerji seviyelerinin bir özelliğidir.Bu denklemlerin anlamlı bir fiziksel yorumu vardır: türev, taşıyıcı popülasyonunun, kimyasal potansiyeli değiştiğinde ne kadar kolay değiştiğini gösterir. Sözde Fermi enerjisindeki küçük bir değişikliğe karşılık gelen yoğunlukta büyük bir değişim, büyük bir türev ve daha küçük bir \(D/\mu\) değeri anlamına gelir. Eğer enerji seviyeleri dolarsa ve yoğunluk daha az değişirse, bu oran artar. Bu nedenle Einstein ilişkisi, sadece hareketliliği çarpan olarak kullanan sayısal bir faktör değil, taşıyıcı istatistiklerinin ve enerji seviyelerinin bir özelliğidir.

Keyfi bir iletim bandı durum yoğunluğu \(g_c(E)\) için, elektron yoğunluğu şu şekilde hesaplanabilir:Keyfi bir iletim bandı durum yoğunluğu \(g_c(E)\) için, elektron yoğunluğu şu şekilde hesaplanabilir:

\[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \] \[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \]

Sabit bir bant yapısı ve sıcaklıkta, türevi aynı durumlar kullanılarak hesaplanabilir:Sabit bir bant yapısı ve sıcaklıkta, türevi aynı durumlar kullanılarak hesaplanabilir:

\[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \] \[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \]

\(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) sabit bir \(E_c\) noktasında olduğundan, bu türev doğrudan genelleştirilmiş Einstein ilişkisinde kullanılabilir. Bu yaklaşım, parabolik olmayan sayısal durum yoğunluğu ile de geçerlidir. Boşluklar için, ilgili valans bandı durum yoğunluğunu ve boşluk doluluk değerini (\(1-f\)) kullanarak, \(E_v-E_{Fp}\)'e göre türevini alın.\(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) sabit bir \(E_c\) noktasında olduğundan, bu türev doğrudan genelleştirilmiş Einstein ilişkisinde kullanılabilir. Bu yaklaşım, parabolik olmayan sayısal durum yoğunluğu ile de geçerlidir. Boşluklar için, ilgili valans bandı durum yoğunluğunu ve boşluk doluluk değerini (\(1-f\)) kullanarak, \(E_v-E_{Fp}\)'e göre türevini alın.

4. Parabolik Bantlar: Klasik Sonuca Ulaşmak4. Parabolik Bantlar: Klasik Sonuca Ulaşmak

Üç boyutlu parabolik bir bant için elektron yoğunluğu, Fermi-Dirac integrali kullanılarak ifade edilebilir:Üç boyutlu parabolik bir bant için elektron yoğunluğu, Fermi-Dirac integrali kullanılarak ifade edilebilir:

\[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \] \[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \]

Normalleştirilmiş tanımı \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\) olarak kullanıyoruz. \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\)'yi kullanarak, genelleştirilmiş Einstein ilişkisi şu hale gelir:Normalleştirilmiş tanımı \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\) olarak kullanıyoruz. \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\)'yi kullanarak, genelleştirilmiş Einstein ilişkisi şu hale gelir:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \] \[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \]

\(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\) içeren boşluklar için de benzer bir denklem geçerlidir. Bu sonuç, dejenerasyona uğramış olsa bile üç boyutlu parabolik bir bant için geçerlidir. Fermi-Dirac integrallerinin oranı, durumların doluluğunun etkisini açıklar.\(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\) içeren boşluklar için de benzer bir denklem geçerlidir. Bu sonuç, dejenerasyona uğramış olsa bile üç boyutlu parabolik bir bant için geçerlidir. Fermi-Dirac integrallerinin oranı, durumların doluluğunun etkisini açıklar.

Dejenerasyonsuz durumda, yani \(\eta_n\ll-1\) olduğunda, her iki Fermi-Dirac integrali de \(\exp(\eta_n)\)'ye yaklaşır. Sonuç olarak,Dejenerasyonsuz durumda, yani \(\eta_n\ll-1\) olduğunda, her iki Fermi-Dirac integrali de \(\exp(\eta_n)\)'ye yaklaşır. Sonuç olarak,

\[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \]

Bu, tanıdık ifadenin tam olarak nereden geldiğini gösteriyor. Yalnızca parabolik bir bant yeterli değildir: \(D/\mu=k_BT/q\) elde etmek için taşıyıcıların aynı zamanda dejenerasyonsuz olması gerekir. Dejenerasyonlu bir parabolik bantta Fermi-Dirac düzeltmesi gereklidir; genel olarak dejenerasyonsuz olmayan bir bant için ise yoğunluk türevi ifadesi genellikle daha kullanışlı bir başlangıç noktasıdır.Bu, tanıdık ifadenin tam olarak nereden geldiğini gösteriyor. Yalnızca parabolik bir bant yeterli değildir: \(D/\mu=k_BT/q\) elde etmek için taşıyıcıların aynı zamanda dejenerasyonsuz olması gerekir. Dejenerasyonlu bir parabolik bantta Fermi-Dirac düzeltmesi gereklidir; genel olarak dejenerasyonsuz olmayan bir bant için ise yoğunluk türevi ifadesi genellikle daha kullanışlı bir başlangıç noktasıdır.

5. Taşıyıcı Basıncı: Difüzyonu Anlamanın Bir Başka Yolu5. Taşıyıcı Basıncı: Difüzyonu Anlamanın Bir Başka Yolu

Difüzyon teriminin nereden geldiğini anlamak için kullanılabilecek bir başka faydalı yöntem daha var. Boltzmann Taşıma Denklemi'nden türetilen momentum dengesi denkleminde, taşıyıcılar bir hız ve momentum dağılımına sahip oldukları için bir basınç uygularlar. Bu taşıyıcı basıncındaki gradyan, taşıyıcıların daha yüksek basınçlı bölgelerden daha düşük basınçlı bölgelere doğru hareket etmesini sağlayan bir kuvvet oluşturur. Bu, difüzyonun mikroskobik kökenidir. Momentum dengesiyle olan bağlantı için Boltzmann Taşıma Denklemi türetmesi'ne bakın.Difüzyon teriminin nereden geldiğini anlamak için kullanılabilecek bir başka faydalı yöntem daha var. Boltzmann Taşıma Denklemi'nden türetilen momentum dengesi denkleminde, taşıyıcılar bir hız ve momentum dağılımına sahip oldukları için bir basınç uygularlar. Bu taşıyıcı basıncındaki gradyan, taşıyıcıların daha yüksek basınçlı bölgelerden daha düşük basınçlı bölgelere doğru hareket etmesini sağlayan bir kuvvet oluşturur. Bu, difüzyonun mikroskobik kökenidir. Momentum dengesiyle olan bağlantı için Boltzmann Taşıma Denklemi türetmesi'ne bakın.

İzotropik üç boyutlu parabolik iletkenlik bandı için elektron basıncını \(P_n\) şu şekilde tanımlayın:İzotropik üç boyutlu parabolik iletkenlik bandı için elektron basıncını \(P_n\) şu şekilde tanımlayın:

\[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \] \[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \]

Burada \(g_c(E)\), iletim bandının durum yoğunluğunu ve \(f(E)\), doluluk olasılığını temsil etmektedir. \(2/3\) faktörü, üç boyutta parabolik dağılımdan türetilmiştir. Klasik, dejeneresiz olmayan durumda bu, bilinen ideal gaz ifadesine dönüşür.Burada \(g_c(E)\), iletim bandının durum yoğunluğunu ve \(f(E)\), doluluk olasılığını temsil etmektedir. \(2/3\) faktörü, üç boyutta parabolik dağılımdan türetilmiştir. Klasik, dejeneresiz olmayan durumda bu, bilinen ideal gaz ifadesine dönüşür.

\[ P_n=nk_BT. \] \[ P_n=nk_BT. \]

Homojen, izotermal bir malzeme için, elektron akımı bu nedenle yoğunluk gradyanı yerine basınç gradyanı kullanılarak ifade edilebilir:Homojen, izotermal bir malzeme için, elektron akımı bu nedenle yoğunluk gradyanı yerine basınç gradyanı kullanılarak ifade edilebilir:

\[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \] \[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \]

İki difüzyon terimini karşılaştırmak, ilgili niceliğin, basıncın taşıyıcı yoğunluğu ile ne kadar hızlı değiştiği olduğunu, basitçe basıncın yoğunluğa bölünmesiyle elde edilen değerin olmadığını gösteriyor.İki difüzyon terimini karşılaştırmak, ilgili niceliğin, basıncın taşıyıcı yoğunluğu ile ne kadar hızlı değiştiği olduğunu, basitçe basıncın yoğunluğa bölünmesiyle elde edilen değerin olmadığını gösteriyor.

\[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \] \[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \]

Boltzmann limitinde \(P_n=nk_BT\) ve \(\partial P_n/\partial n=k_BT\) olduğunda, klasik Einstein ilişkisi doğrudan elde edilir. Elektron gazı dejenere hale geldiğinde, basınç artık yoğunlukla doğrusal olarak artmaz. Üç boyutlu parabolik bir bant için, yukarıda kullanılan aynı normalleştirilmiş Fermi-Dirac integrallerini kullanarak şu sonuç elde edilir:Boltzmann limitinde \(P_n=nk_BT\) ve \(\partial P_n/\partial n=k_BT\) olduğunda, klasik Einstein ilişkisi doğrudan elde edilir. Elektron gazı dejenere hale geldiğinde, basınç artık yoğunlukla doğrusal olarak artmaz. Üç boyutlu parabolik bir bant için, yukarıda kullanılan aynı normalleştirilmiş Fermi-Dirac integrallerini kullanarak şu sonuç elde edilir:

\[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \] \[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \]

Bu, 4. Bölümde türetilen genelleştirilmiş Einstein ilişkisini tam olarak yeniden oluşturur. \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) ile \(\partial P_n/\partial n\)'nin karıştırılmaması önemlidir: bunlar yalnızca klasik durumda eşittir. Parabolik olmayan bantlar için basınç, daha genel bir hız ve bant yapısı bağımlı yaklaşım gerektirir; 3. Bölümdeki taşıyıcı yoğunluğu türevi, tutarlı bir sürüklenme-difüzyon modeli içinde Einstein ilişkisini hesaplamak için genellikle daha kullanışlı bir yöntemdir.Bu, 4. Bölümde türetilen genelleştirilmiş Einstein ilişkisini tam olarak yeniden oluşturur. \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) ile \(\partial P_n/\partial n\)'nin karıştırılmaması önemlidir: bunlar yalnızca klasik durumda eşittir. Parabolik olmayan bantlar için basınç, daha genel bir hız ve bant yapısı bağımlı yaklaşım gerektirir; 3. Bölümdeki taşıyıcı yoğunluğu türevi, tutarlı bir sürüklenme-difüzyon modeli içinde Einstein ilişkisini hesaplamak için genellikle daha kullanışlı bir yöntemdir.

6. Sayısal Doğruluk: Yanlış Denge Akımlarından Kaçınma6. Sayısal Doğruluk: Yanlış Denge Akımlarından Kaçınma

Bir sürüklenme-difüzyon simülasyonunda, genelleştirilmiş Einstein ilişkisi yazılması kolay olsa da, doğru bir şekilde değerlendirilmesi zor olabilir. Temel zorluk, taşıyıcı yoğunluğunun yarı-Fermi enerjisine göre türevidir. Yaygın bir yaklaşım, sonlu farklar yöntemidir:Bir sürüklenme-difüzyon simülasyonunda, genelleştirilmiş Einstein ilişkisi yazılması kolay olsa da, doğru bir şekilde değerlendirilmesi zor olabilir. Temel zorluk, taşıyıcı yoğunluğunun yarı-Fermi enerjisine göre türevidir. Yaygın bir yaklaşım, sonlu farklar yöntemidir:

\[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \] \[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \]

\(\Delta E\) çok büyükse, türev, yuvarlama hatası nedeniyle doğru sonuç vermez. Çok küçükse, birbirine yakın iki taşıyıcı yoğunluğu birbirinden çıkarılır; bu da bant yapısı ve durum yoğunluğu hesaplamalarında kayan nokta yuvarlama hatasını veya sayısal gürültüyü artırabilir. Ortaya çıkan hata, özellikle türevin küçük olduğu durumlarda, \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\)'nin oluşturulması sırasında daha da büyür.\(\Delta E\) çok büyükse, türev, yuvarlama hatası nedeniyle doğru sonuç vermez. Çok küçükse, birbirine yakın iki taşıyıcı yoğunluğu birbirinden çıkarılır; bu da bant yapısı ve durum yoğunluğu hesaplamalarında kayan nokta yuvarlama hatasını veya sayısal gürültüyü artırabilir. Ortaya çıkan hata, özellikle türevin küçük olduğu durumlarda, \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\)'nin oluşturulması sırasında daha da büyür.

Küçük bir göreli hata bile önemli olabilir, çünkü dengede sürüklenme ve difüzyon akımları her biri önemli bir değere sahip olabilirken, bu iki akımın toplamı tam olarak sıfır olmalıdır. Küçük bir uyumsuzluk, yanlış bir artık akıma neden olabilir. Bu durum, özellikle parabolik olmayan enerji bantları, sayısal durum yoğunlukları, düşük taşıyıcı yoğunlukları veya önemli ölçüde değişen heteroyapılar içeren simülasyonlarda belirgin şekilde görülebilir.Küçük bir göreli hata bile önemli olabilir, çünkü dengede sürüklenme ve difüzyon akımları her biri önemli bir değere sahip olabilirken, bu iki akımın toplamı tam olarak sıfır olmalıdır. Küçük bir uyumsuzluk, yanlış bir artık akıma neden olabilir. Bu durum, özellikle parabolik olmayan enerji bantları, sayısal durum yoğunlukları, düşük taşıyıcı yoğunlukları veya önemli ölçüde değişen heteroyapılar içeren simülasyonlarda belirgin şekilde görülebilir.

Mümkün olduğunda, 3. Bölümde olduğu gibi, iki ayrı şekilde hesaplanan yoğunluk değerleri arasındaki farkı kullanarak sonuca ulaşmak yerine, yoğunluk-durum integrali altında mesleki fonksiyonu analitik olarak farklılaştırmak daha tercih edilir. Çok seyrek taşıyıcılar için, uygun durumlarda kararlı bir Boltzmann limiti ifadesi kullanılmalıdır. Ayrıca, tutarlı sayısal entegrasyon, taşıyıcı istatistikleri, bant kenarı kuralları ve sürüklenme ve difüzyonun ayrıklaştırılması da önemlidir.Mümkün olduğunda, 3. Bölümde olduğu gibi, iki ayrı şekilde hesaplanan yoğunluk değerleri arasındaki farkı kullanarak sonuca ulaşmak yerine, yoğunluk-durum integrali altında mesleki fonksiyonu analitik olarak farklılaştırmak daha tercih edilir. Çok seyrek taşıyıcılar için, uygun durumlarda kararlı bir Boltzmann limiti ifadesi kullanılmalıdır. Ayrıca, tutarlı sayısal entegrasyon, taşıyıcı istatistikleri, bant kenarı kuralları ve sürüklenme ve difüzyonun ayrıklaştırılması da önemlidir.

Son olarak, doğru bir Einstein ilişkisi gereklidir, ancak tek başına sahte akımları ortadan kaldırmak için yeterli değildir: uzamsal ayrıştırma aynı zamanda dengeyi de korumalıdır. Özellikle, akı ayrıştırmaları sabit denge Fermi seviyelerini dikkate almalıdır; klasik sürüklenme-difüzyon için dengeyi koruyan Scharfetter-Gummel gibi bir şema yaygın olarak kullanılır. Pratik bir simülatör testi, karanlık, sıfır gerilimde bir denge hesaplaması yapmak ve cihazın tamamında, gerekli sayısal tolerans dahil olmak üzere, malzeme arayüzleri de dahil olmak üzere elektron ve boşluk akımlarının sıfırlandığını doğrulamaktır. Birleşim noktalarının ve bant kaymalarının işlenmesi için Interfaces ve The built-in potential bölümlerine bakın.Son olarak, doğru bir Einstein ilişkisi gereklidir, ancak tek başına sahte akımları ortadan kaldırmak için yeterli değildir: uzamsal ayrıştırma aynı zamanda dengeyi de korumalıdır. Özellikle, akı ayrıştırmaları sabit denge Fermi seviyelerini dikkate almalıdır; klasik sürüklenme-difüzyon için dengeyi koruyan Scharfetter-Gummel gibi bir şema yaygın olarak kullanılır. Pratik bir simülatör testi, karanlık, sıfır gerilimde bir denge hesaplaması yapmak ve cihazın tamamında, gerekli sayısal tolerans dahil olmak üzere, malzeme arayüzleri de dahil olmak üzere elektron ve boşluk akımlarının sıfırlandığını doğrulamaktır. Birleşim noktalarının ve bant kaymalarının işlenmesi için Interfaces ve The built-in potential bölümlerine bakın.

Temel ders oldukça basittir: Einstein ilişkisi, sürüklenme ve difüzyon açıklamalarını termodinamik olarak tutarlı hale getiren unsurdur. Bu ilişkinin bilinen klasik formu kullanımı kolaydır, ancak daha genel taşıyıcı istatistikleri, buna uygun olarak daha genel ve sayısal olarak doğru bir ilişki gerektirir. Daha geniş taşıma çerçevesi, Boltzmann'dan sürüklenme-difüzyon türetmesi bölümünde geliştirilmiştir.Temel ders oldukça basittir: Einstein ilişkisi, sürüklenme ve difüzyon açıklamalarını termodinamik olarak tutarlı hale getiren unsurdur. Bu ilişkinin bilinen klasik formu kullanımı kolaydır, ancak daha genel taşıyıcı istatistikleri, buna uygun olarak daha genel ve sayısal olarak doğru bir ilişki gerektirir. Daha geniş taşıma çerçevesi, Boltzmann'dan sürüklenme-difüzyon türetmesi bölümünde geliştirilmiştir.