Sürüklenme-difüzyon modellerinde serbest yük taşıyıcı istatistikleriSürüklenme-difüzyon modellerinde serbest yük taşıyıcı istatistikleri

3. Ücretsiz yük taşıyıcı istatistikleri3. Ücretsiz yük taşıyıcı istatistikleri

Serbest yük taşıyıcı istatistikleri, sözde Fermi seviyeleri ile yük taşıyıcı yoğunlukları arasındaki ilişkiyi tanımlar. Belirli bir elektrostatik potansiyel ve sözde Fermi seviyesi için, bunlar yerel elektron ve boşluk konsantrasyonlarını \(n\) ve \(p\) belirler. OghmaNano'da, bu ilişki, dejenerasyon derecesine ve durum yoğunluğunun (DOS) şekline bağlı olarak ya klasik Maxwell-Boltzmann (MB) yaklaşımı ya da tam Fermi-Dirac (FD) formalizmi kullanılarak açıklanabilir.Serbest yük taşıyıcı istatistikleri, sözde Fermi seviyeleri ile yük taşıyıcı yoğunlukları arasındaki ilişkiyi tanımlar. Belirli bir elektrostatik potansiyel ve sözde Fermi seviyesi için, bunlar yerel elektron ve boşluk konsantrasyonlarını \(n\) ve \(p\) belirler. OghmaNano'da, bu ilişki, dejenerasyon derecesine ve durum yoğunluğunun (DOS) şekline bağlı olarak ya klasik Maxwell-Boltzmann (MB) yaklaşımı ya da tam Fermi-Dirac (FD) formalizmi kullanılarak açıklanabilir.

MB yaklaşımı, kuazi-Fermi seviyelerinin bant kenarlarından birkaç \(kT\) kadar uzakta olduğu ve dolayısıyla doluluk olasılıklarının küçük olduğu ve Pauli dışlama etkilerinin ihmal edilebileceği durumlarda geçerlidir. Bu varsayım altında, taşıyıcı yoğunlukları, kuazi-Fermi seviyeleriyle üstel bir ilişki içindedir:MB yaklaşımı, kuazi-Fermi seviyelerinin bant kenarlarından birkaç \(kT\) kadar uzakta olduğu ve dolayısıyla doluluk olasılıklarının küçük olduğu ve Pauli dışlama etkilerinin ihmal edilebileceği durumlarda geçerlidir. Bu varsayım altında, taşıyıcı yoğunlukları, kuazi-Fermi seviyeleriyle üstel bir ilişki içindedir:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

burada \(N_c\) ve \(N_v\), iletkenlik ve valans bantlarındaki etkin durum yoğunluklarını, \(F_n\) ve \(F_p\) elektron ve boşluk yarı-Fermi seviyelerini ve \(E_c\) ile \(E_v\) yerel bant sınırlarını ifade etmektedir. Bu formülasyon, örtük olarak parabolik bir bant yapısı ve termalize olmuş taşıyıcı popülasyonu varsayar.burada \(N_c\) ve \(N_v\), iletkenlik ve valans bantlarındaki etkin durum yoğunluklarını, \(F_n\) ve \(F_p\) elektron ve boşluk yarı-Fermi seviyelerini ve \(E_c\) ile \(E_v\) yerel bant sınırlarını ifade etmektedir. Bu formülasyon, örtük olarak parabolik bir bant yapısı ve termalize olmuş taşıyıcı popülasyonu varsayar.

Taşıyıcı yoğunlukları, sözde Fermi seviyesinin bantla yaklaştığı veya banta girdiği veya durum yoğunluğunun basit bir parabolik formdan saptığı durumlarda, Maxwell-Boltzmann yaklaşımı geçerliliğini yitirir ve tam Fermi-Dirac formalizmi kullanılmalıdır. Bu durumda, taşıyıcı yoğunlukları, Fermi-Dirac doluluk fonksiyonu ile ağırlıklandırılmış durum yoğunluğunun integralini alarak elde edilir:Taşıyıcı yoğunlukları, sözde Fermi seviyesinin bantla yaklaştığı veya banta girdiği veya durum yoğunluğunun basit bir parabolik formdan saptığı durumlarda, Maxwell-Boltzmann yaklaşımı geçerliliğini yitirir ve tam Fermi-Dirac formalizmi kullanılmalıdır. Bu durumda, taşıyıcı yoğunlukları, Fermi-Dirac doluluk fonksiyonu ile ağırlıklandırılmış durum yoğunluğunun integralini alarak elde edilir:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

burada Fermi-Dirac dağılımı şu şekilde verilmiştir:burada Fermi-Dirac dağılımı şu şekilde verilmiştir:

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

ve \(\rho(E)\), durum yoğunluğunu ifade eder. Üç boyutlu parabolik bir bant için, durum yoğunluğu şu şekilde ifade edilir:ve \(\rho(E)\), durum yoğunluğunu ifade eder. Üç boyutlu parabolik bir bant için, durum yoğunluğu şu şekilde ifade edilir:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

burada \(m^*\), taşıyıcıların etkin kütlesini ve \(\hbar\) ise indirgenmiş Planck sabitini temsil eder. Pratik cihaz simülasyonlarında, üstel düşüşleri, Gauss dağılımını veya amorf veya organik sistemlerin karakteristik özelliği olan diğer parabolik olmayan özellikleri yakalamak için \(\rho(E)\) değeri açıkça belirtilebilir.burada \(m^*\), taşıyıcıların etkin kütlesini ve \(\hbar\) ise indirgenmiş Planck sabitini temsil eder. Pratik cihaz simülasyonlarında, üstel düşüşleri, Gauss dağılımını veya amorf veya organik sistemlerin karakteristik özelliği olan diğer parabolik olmayan özellikleri yakalamak için \(\rho(E)\) değeri açıkça belirtilebilir.

İstatistiksel açıklama ayrıca ortalama taşıyıcı enerjisini de belirler ve bu enerji, saçılma ve rekombinasyon modellerinde kullanılır. Bu değer şu şekilde elde edilir:İstatistiksel açıklama ayrıca ortalama taşıyıcı enerjisini de belirler ve bu enerji, saçılma ve rekombinasyon modellerinde kullanılır. Bu değer şu şekilde elde edilir:

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

Parabolik bir durum yoğunluğuna sahip, dejenerasyona uğramamış MB limitinde, bu ifade \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\) olarak basitleşir ve enerjinin eşit dağılımını gösterir. Ancak, enerjik düzensizlik veya güçlü dejenerasyon içeren sistemlerde, taşıyıcı dağılımı bozulur ve ortalama enerji, bu klasik değerden sapar; bu durum, rekombinasyon kinetiği ve taşıma katsayıları üzerinde doğrudan bir etki yaratır.Parabolik bir durum yoğunluğuna sahip, dejenerasyona uğramamış MB limitinde, bu ifade \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\) olarak basitleşir ve enerjinin eşit dağılımını gösterir. Ancak, enerjik düzensizlik veya güçlü dejenerasyon içeren sistemlerde, taşıyıcı dağılımı bozulur ve ortalama enerji, bu klasik değerden sapar; bu durum, rekombinasyon kinetiği ve taşıma katsayıları üzerinde doğrudan bir etki yaratır.