Неусталені процеси захоплення та рекомбінації носіїв заряду з використанням пасток Шоклі-Ріда-Холла.

1. Вступ

Багато студентів вперше ознайомляться з рекомбінацією Шоклі–Ріда–Холла (SRH) на заняттях з фізики в університеті. Зазвичай її представляють як механізм рекомбінації між вільним носієм заряду та захопленим носієм, і її можна узагальнити за допомогою наступного відомого та спрощеного виразу:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

де:

• \(\tau_{n}\) і \(\tau_{p}\) – це час існування електронів і дірок, пов’язаний із пасткою.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) – це ефективна електронна густина, коли пастка перебуває в стані рівноваги.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) – це відповідна щільність отворів.
• \(E_{t}\) – це енергетичний рівень, що визначає глибину пастки, а \(n_{i}\) – власна концентрація носіїв заряду.

Це рівняння вперше було отримане в роботі Шоклі та Рід, «Фізичний огляд», 87, 835 (1952), а більш детальний опис наведено в розділі теорія ШРХ посібника.

Однак, важливо зазначити, що наведена вище формула не відображає всієї картини. Ця стисла форма є результатом початкового аналізу Шоклі–Ріда–Холла, проведеного за умови застосування певних спрощуючих припущень:

• У стаціонарних умовах вважається, що кількість частинок, які утримуються в пастці, не змінюється з часом, тому швидкість захоплення та швидкість випромінювання збалансовані.
• Одинарний рівень пастки: рекомбінація відбувається за допомогою єдиного, чітко визначеного за енергією дефектного рівня на енергії \(E_t\) в межах забороненої зони.

Ці припущення цілком обґрунтовані для матеріалів, які містять лише невелику кількість домішок, де рекомбінація, що відбувається за участю пасток, відіграє лише незначну роль, і єдина дискретна енергетична рівень пастки забезпечує адекватний опис. Однак, коли рекомбінація за Шоклі–Рідом–Голлом стає домінуючим процесом, як це часто буває в невпорядкованих напівпровідниках, картина змінюється. У таких системах пастки рідко зустрічаються на одному енергетичному рівні, натомість вони утворюють широку сукупність станів у межах забороненої зони, що означає, що опис на основі щільності станів є більш доцільним. Крім того, велика кількість заповнених пасток призводить до значної концентрації захопленого заряду, який діє не лише як канал рекомбінації, але й як резервуар носіїв заряду, що змінює електростатичний потенціал у всьому пристрої. Це означає, що заповнення пасток має розглядатися самоузгоджено з рівнянням Пуассона, а не як пасивний фоновий процес. Крім того, припущення про сталий стан унеможливлює опис динамічних процесів: у дослідженнях, що проводяться в часовій області, або в транзієнтних моделюваннях заповнення пасток змінюється з часом, і ця зміна сама по собі є важливою для динаміки рекомбінації. З цих причин, хоча компактна формула SRH є цінною відправною точкою, її необхідно узагальнити для матеріалів із високою концентрацією пасток або в ситуаціях, коли важлива нерівноважна динаміка.

Щоб належним чином зрозуміти та врахувати ці відмінності між усталеною моделлю Шоклі–Ріда–Холла та більш широким підходом, представленим в оригінальній роботі, нам потрібно глибше вивчити теоретичні основи.

2. Розуміння динамічного рівняння, що описує швидкість зміни показників сексуального та репродуктивного здоров’я.

Щоб по-справжньому зрозуміти, що означає формалізм Шоклі–Ріда–Холла (SRH), нам потрібно уважно розглянути, як його сформулювали автори. Вони розробили рівняння швидкості для визначення кількості носіїв у стані пастки всередині забороненої зони напівпровідника. Це рівняння наведено нижче та схематично зображено в ??. Воно описує, як змінюється кількість носіїв у пастці внаслідок процесів захоплення та вивільнення.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

У цьому виразі чотири члени відповідають чотирьом можливим потокам носіїв заряду, пов’язаним з електронною пасткою. Член \(r_{ec}\) представляє захоплення електронів із популяції вільних електронів у пастку, тоді як \(r_{ee}\) представляє випромінювання електронів назад у вільну зону. Аналогічно, \(r_{hc}\) – це швидкість захоплення дірок у пастку, а \(r_{he}\) – швидкість випромінювання дірок назад у популяцію вільних дірок. Разом ці процеси описують детальний баланс потоку носіїв заряду в пастку та з неї на певному енергетичному рівні.

Корисно концептуально відокремити ці внески. Члени, що описують захоплення та випромінювання електронів (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)), відображають чисте утримання заряду, як це зазвичай уявляють для пасток, які накопичують електрони. Члени, що описують захоплення та випромінювання дірок (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)), відображають рекомбінацію, оскільки вони представляють анігіляцію або регенерацію захопленого заряду внаслідок взаємодії з популяцією вільних дірок. Ключовий момент тут полягає в тому, що сама пастка фактично містить заряд — це не просто математична «поглинальна» точка для рекомбінації, а реальне джерело носіїв заряду, яке необхідно враховувати при моделюванні як рекомбінації, так і електростатичних властивостей пристрою.

2. Ймовірність уникнення захоплення порівняно з ймовірністю захоплення.

Коефіцієнти захоплення та вивільнення носіїв заряду, які взаємодіють із пасткою, узагальнено в таблиці нижче, а відповідні ймовірності вивільнення наведено в наведених нижче рівняннях. Важливою особливістю теорії Шоклі–Ріда–Холла є значна залежність ймовірності вивільнення від енергетичної глибини пастки. Носії заряду, захоплені поблизу краю зони, можуть відносно легко вивільнятися, тоді як носії, що знаходяться в глибших пастках, мають значно нижчу ймовірність вивільнення. Ця поведінка безпосередньо відображається в експоненціальних членах виразів для ймовірності вивільнення. На відміну від цього, ймовірність захоплення носія заряду в пастку не залежить від глибини пастки; вона залежить лише від того, чи є пастка порожньою, чи зайнятою. Порожня пастка з великою ймовірністю захоплює наближаючийся носій, тоді як повністю заповнена пастка не може захоплювати додаткові носії. Розглядаючи Таблицю 9.1, можна побачити, як ці принципи математично виражено в коефіцієнтах захоплення та вивільнення. У сукупності вони описують систему, в якій носії заряду легко потрапляють у пастки, їм стає все важче вивільнятися, якщо пастки розташовані на більшій енергетичній глибині, і в якій можуть бути захоплені як електрони, так і дірки. Коли обидва типи носіїв займають одну й ту саму пастку, природним чином відбувається рекомбінація.

Імовірності виходу з певної ситуації визначаються наступним чином:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

і

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. Від однієї вразливості до DoS-атаки.

До цього моменту, як показано на рис. 9.1, ми розглядали поведінку одного рівня пасток («фіолетова пастка»). Однак у реальних невпорядкованих напівпровідниках рекомбінація рідко визначається одним окремим станом. Натомість існує розподіл рівнів пасток, який поширюється на область забороненої зони як від межі зони провідності, так і від межі валентної зони. Це означає, що ми повинні описати не лише електронні пастки, але й діркові пастки, а також їх відповідну концентрацію як функцію енергії.

Для цього щільність пасток описується функцією щільності станів \(\rho(E)\), яку можна задати у будь-якій аналітичній формі, що відповідає досліджуваному матеріалу. У цьому прикладі ми використовуємо експоненціальний розподіл станів пасток:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

де \(N^{e/h}\) – це густина станів на межі зони (LUMO або HOMO), вимірювана в одиницях станів на електрон-вольт, а \(E_{u}^{e/h}\) – характерна енергія нахилу, яка визначає експоненціальний спад. Ефективна густина пасток, пов’язана з певним енергетичним рівнем, визначається шляхом усереднення по енергетичному інтервалу \(\Delta E\), який представляє собою пастку:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

На практиці модель дискретизує розподіл на скінченну кількість рівнів пасток. Для кожного рівня пастки ми записуємо окреме рівняння швидкості, як описано вище, і призначаємо йому відповідну густину \(N_t\). Зазвичай використовується від трьох до двадцяти рівнів пасток як у зоні провідності, так і у валентній зоні, кожен з яких може накопичувати заряд. Загальний накопичений заряд потім самоузгоджено пов’язується з рівнянням Пуассона, що забезпечує врахування електростатичного профілю пристрою та заповненості пасток.

Насамкінець, члени, що описують рекомбінацію за участю пасток, явно фігурують у рівняннях неперервності носіїв заряду. Наприклад, швидкість рекомбінації за Шоклі–Рідом–Голлом записується як:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

у такий спосіб пов’язуються швидкості захоплення та вивільнення електронів і дірок безпосередньо з балансом носіїв заряду в зонах провідності та валентності. Таким чином, процеси захоплення та рекомбінації описуються на рівній основі, і їхній внесок природним чином інтегрується в рівняння неперервності та рівняння Пуассона, які визначають роботу пристрою.

Кінцевий результат

Розв’язання повної системи рівнянь Шоклі–Ріда–Холла як у просторі енергій, так і в просторі координат для всієї області пристрою дає змогу описати, де саме розташовані заряди, не лише з точки зору їхнього положення, але й з точки зору їхньої енергії. Це дозволяє нам відтворити динаміку зарядів, яка переважає у сильно дезорганізованих матеріалах. Приклад наведено в ??, де ми моделюємо характеристику струм-напруга в умовах відсутності освітлення при збільшенні прикладеної напруги від 0 В. У міру збільшення напруги носії зарядів вводяться з контактів і поступово заповнюють пасткові стани. Ці захоплені заряди одночасно діють як центри рекомбінації та як джерела просторового заряду, що змінюють електростатичний потенціал у всій області пристрою. Без урахування цих ефектів будь-яке моделювання пристрою буде неповним і, ймовірно, неточним. Детальніше про те, чому пасткові стани необхідно включати в такі моделі, див. у цей розділ.