Piégeage et recombinaison des porteurs hors équilibre en utilisant les états de piégeage de Shockley-Read-Hall.

1. Introduction

De nombreux étudiants découvriront pour la première fois le phénomène de recombinaison de Shockley-Read-Hall (SRH) dans le cadre de leurs cours de physique de premier cycle. Il est souvent présenté comme un mécanisme de recombinaison entre un porteur de charge libre et un porteur de charge piégé, et il est résumé par l’expression simplifiée et bien connue suivante :

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

où :

• \(\tau_{n}\) et \(\tau_{p}\) représentent les durées de vie des électrons et des trous associés au piège.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) représente la densité électronique effective lorsque le piège est à l’équilibre.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) représente la densité correspondante des trous.
• \(E_{t}\) représente le niveau d’énergie de la « piège », et \(n_{i}\) représente la concentration intrinsèque des porteurs de charge.

Cette équation a été établie pour la première fois dans Shockley et Read, Physical Review, 87, 835 (1952)et est décrit plus en détail dans le Section sur la théorie de la gestion des ressources humaines. du manuel.

Il est toutefois important de noter que l’équation ci-dessus ne représente pas l’intégralité du problème. Cette forme simplifiée est le résultat de l’analyse originale de Shockley, Read et Hall, basée sur un ensemble d’hypothèses simplificatrices :

• Conditions à l’état stationnaire : on suppose que le taux d’occupation du piège ne varie pas dans le temps, de sorte que les taux de capture et d’émission s’équilibrent.
• Niveau unique de piégeage : la recombinaison se produit par l’intermédiaire d’un seul niveau de défaut énergétiquement marqué, situé à l’énergie \(E_t\) dans la bande interdite.

Ces hypothèses sont tout à fait valables pour les matériaux ne contenant que quelques impuretés, où la recombinaison assistée par des pièges joue un rôle mineur et où un seul niveau de piège discret permet une description raisonnable. Cependant, lorsque la recombinaison de Shockley–Read–Hall devient le processus dominant, ce qui est souvent le cas dans les semi-conducteurs désordonnés, la situation change. Dans de tels systèmes, les pièges ne se manifestent que rarement à un seul niveau d’énergie, mais forment plutôt une large distribution d’états dans la bande interdite, ce qui signifie qu’une description basée sur la densité d’états est plus appropriée. De plus, le grand nombre de pièges occupés introduit une quantité importante de charge piégée, qui agit non seulement comme un canal de recombinaison, mais aussi comme un réservoir de porteurs qui modifie le potentiel électrostatique dans tout le dispositif. Cela signifie que l’occupation des pièges doit être traitée de manière auto-cohérente avec l’équation de Poisson, plutôt que comme un processus de fond passif. De plus, l’hypothèse d’état stationnaire empêche la description des processus dynamiques : dans les expériences temporelles ou les simulations transitoires, l’occupation des pièges évolue dans le temps, et cette évolution elle-même est essentielle à la dynamique de la recombinaison. Pour ces raisons, bien que la formule SRH compacte constitue un point de départ précieux, elle doit être généralisée pour les matériaux présentant une forte densité de pièges ou dans les situations où la dynamique hors équilibre est importante.

Pour bien comprendre et prendre en compte ces différences entre le formalisme de Shockley–Read–Hall en régime permanent et l’approche plus générale présentée dans l’ouvrage original, il est nécessaire d’approfondir la théorie sous-jacente.

2. Comprendre l’équation dynamique du taux de SRH.

Pour bien comprendre la signification du formalisme de Shockley–Read–Hall (SRH), il est nécessaire d’examiner attentivement la manière dont les auteurs originaux l’ont mis en place. Ils ont établi une équation de taux pour l’occupation d’un état de piégeage dans la bande interdite du semi-conducteur. Cette équation de taux est présentée ci-dessous et illustrée schématiquement dans ??. Elle décrit comment le nombre de porteurs dans un piégeage évolue en raison des processus de capture et d’échappement.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

Dans cette expression, les quatre termes correspondent aux quatre flux de porteurs possibles associés à un piège à électrons. Le terme \(r_{ec}\) représente la capture d’électrons provenant de la population d’électrons libres et leur transfert vers le piège, tandis que \(r_{ee}\) représente l’émission d’électrons du piège vers la bande de conduction. De même, \(r_{hc}\) représente le taux de capture des trous dans le piège, et \(r_{he}\) représente le taux d’émission des trous du piège vers la population de trous libres. Ensemble, ces processus décrivent l’équilibre détaillé des flux de porteurs entrant et sortant d’un niveau de piège unique.

Il est utile de distinguer ces contributions sur le plan conceptuel. Les termes relatifs à la capture et à l’émission d’électrons (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) décrivent une simple accumulation de charges, comme on l’imagine généralement pour des pièges qui emmagasinent des électrons. Les termes relatifs à la capture et à l’émission de trous (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) décrivent la recombinaison, car ils représentent l’annihilation ou la recréation de charges piégées par interaction avec la population de trous libres. L’élément essentiel ici est que le piège lui-même contient réellement des charges ; il ne s’agit pas simplement d’un puits mathématique pour la recombinaison, mais d’un véritable réservoir de porteurs qui doivent être pris en compte lors de la modélisation de la recombinaison et de l’électrostatique du dispositif.

2. Probabilité d’évasion par rapport à la probabilité de capture.

Les taux de capture et d’évasion des animaux qui interagissent avec un piège sont résumés dans le tableau. en dessous detandis que les probabilités d’échappement correspondantes sont indiquées dans les équations ci-dessous. Une caractéristique essentielle de la théorie de Shockley-Read-Hall est la forte dépendance de la probabilité d’échappement par rapport à la profondeur énergétique du piège. Les porteurs piégés près d’une bande peuvent s’échapper relativement facilement, tandis que les porteurs piégés dans des pièges plus profonds ont une probabilité d’émission beaucoup plus faible. Ce comportement se reflète directement dans les termes exponentiels des expressions de la probabilité d’échappement. En revanche, la probabilité qu’un porteur soit capturé dans un piège ne dépend pas de la profondeur du piège ; elle dépend uniquement du fait que le piège est vide ou occupé. Un piège vide est très susceptible de capturer un porteur qui s’en approche, tandis qu’un piège entièrement occupé ne peut pas capturer d’autres porteurs. En analysant ces données, on constate que... Tableau 9.1on peut observer que ces principes s’expriment mathématiquement dans les taux de capture et d’évasion. Considérés ensemble, ils décrivent un système dans lequel les porteurs de charge tombent facilement dans les pièges et trouvent qu’il devient de plus en plus difficile d’en sortir, surtout si les pièges sont situés à des niveaux d’énergie plus profonds, et où les électrons et les trous peuvent tous deux être capturés. Une fois que les deux types de porteurs occupent le même piège, la recombinaison se produit naturellement.

Les probabilités d’évasion sont données par :

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

et

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. D’une vulnérabilité à une attaque par déni de service.

Jusqu’à présent, et comme l’illustre… Fig. 9.1nous avons étudié le comportement d’un seul niveau de piège (le « piège violet »). Cependant, dans les semiconducteurs désordonnés réels, la recombinaison est rarement dominée par un seul état discret. Au contraire, il existe un ensemble de répartition des niveaux de piège ce qui s’étend dans la bande interdite à partir des bords des bandes de conduction et de valence. Cela signifie que nous devons décrire non seulement les pièges à électrons, mais aussi les pièges à trous, ainsi que leurs densités respectives en fonction de l’énergie.

Pour ce faire, la densité des pièges est décrite par une fonction de densité d’états \(\rho(E)\), qui peut prendre n’importe quelle forme analytique appropriée au matériau étudié. Dans cet exemple, nous utilisons une distribution exponentielle des états de piège :

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

où \(N^{e/h}\) représente la densité d’états au bord de la bande (LUMO ou HOMO), exprimée en nombre d’états par électron-volt, et \(E_{u}^{e/h}\) est l’énergie caractéristique de la pente qui définit la décroissance exponentielle. La densité de pièges effective associée à un niveau d’énergie spécifique est ensuite obtenue en effectuant une moyenne sur l’intervalle d’énergie \(\Delta E\) qui représente le piège :

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

Dans la pratique, le modèle discrétise la distribution en un nombre fini de niveaux de piège. Pour chaque niveau de piège, nous établissons une équation de taux distincte, comme décrit précédemment, et lui attribuons une densité correspondante \(N_t\). Généralement, entre trois et vingt niveaux de piège sont utilisés, tant dans la bande de conduction que dans la bande de valence, et chacun d’eux peut emmagasiner des charges. La charge totale emprisonnée est ensuite couplée de manière auto-cohérente à l’équation de Poisson, ce qui garantit que le profil électrostatique du dispositif tient compte de l’occupation des pièges.

Enfin, les termes liés à la recombinaison assistée par des pièges apparaissent explicitement dans les équations de continuité des porteurs. Par exemple, le taux de recombinaison de Shockley–Read–Hall s’écrit comme suit :

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

en reliant directement les taux de capture et d’évasion des électrons et des trous à l’équilibre des porteurs dans les bandes de conduction et de valence. De cette manière, les processus de piégeage et de recombinaison sont décrits de manière équivalente, et leurs contributions sont naturellement intégrées dans les équations de continuité et de Poisson qui régissent le fonctionnement du dispositif.

Le résultat final.

La résolution de l’ensemble des équations de Shockley–Read–Hall, tant dans l’espace énergétique que dans l’espace des positions, sur l’ensemble du dispositif permet de déterminer la localisation des charges, non seulement en fonction de leur position, mais aussi en fonction de leur énergie. Cela nous permet de modéliser la dynamique des charges qui prédomine dans les matériaux fortement désordonnés. Un exemple est présenté dans ??où nous simulons une courbe J–V dans des conditions d’obscurité, en augmentant progressivement la tension appliquée à partir de 0 V. À mesure que la tension augmente, des porteurs de charge sont injectés par les contacts et remplissent progressivement les états de piégeage. Ces charges piégées agissent simultanément comme des centres de recombinaison et comme des sources de charge d’espace, ce qui modifie le potentiel électrostatique dans tout le dispositif. Si ces effets ne sont pas pris en compte, toute simulation de dispositif sera incomplète et probablement inexacte. Pour une discussion détaillée sur les raisons pour lesquelles les états de piégeage doivent être inclus dans de tels modèles, voir cette section.