Μη ισορροπημένη παγίδευση και ανασύνθεση φορέων χρησιμοποιώντας καταστάσεις παγίδευσης Shockley-Read-Hall.

1. Εισαγωγή

Πολλοί αναγνώστες θα συναντήσουν για πρώτη φορά την ανασύνθεση Shockley–Read–Hall (SRH) στα προπτυχιακά μαθήματα φυσικής τους. Συνήθως παρουσιάζεται ως ένας μηχανισμός ανασύνθεσης μεταξύ ενός ελεύθερου φορέα και ενός παγιδευμένου φορέα και συνοψίζεται στην ακόλουθη γνωστή και απλοποιημένη έκφραση:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

όπου:

• \(\tau_{n}\) και \(\tau_{p}\) είναι οι χρόνοι ζωής των ηλεκτρονίων και των οπών που σχετίζονται με την παγίδα.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) είναι η αποτελεσματική πυκνότητα ηλεκτρονίων όταν η παγίδα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) είναι η αντίστοιχη πυκνότητα οπών.
• Το \(E_{t}\) είναι το ενεργειακό επίπεδο της παγίδας και το \(n_{i}\) είναι η εγγενής συγκέντρωση φορέων.

Αυτή η εξίσωση προέκυψε για πρώτη φορά στο Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) και περιγράφεται με περισσότερες λεπτομέρειες στην ενότητα Θεωρία SRH του εγχειριδίου.

Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η παραπάνω εξίσωση δεν αποτελεί την πλήρη εικόνα. Αυτή η συνοπτική μορφή προκύπτει από την αρχική ανάλυση Shockley–Read–Hall υπό μια σειρά απλοποιητικών υποθέσεων:

• Σταθερές συνθήκες: υποτίθεται ότι η πληρότητα της παγίδας δεν μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου, επομένως οι ρυθμοί σύλληψης και εκπομπής είναι ισορροπημένοι.
• Ενιαίο επίπεδο παγίδευσης: η ανασυνδυασμός συμβαίνει μέσω ενός και μοναδικού, ενεργειακά ευδιάκριτου επιπέδου ελαττωμάτων στην ενέργεια \(E_t\) εντός του ενεργειακού χάσματος.

Αυτές οι υποθέσεις είναι απολύτως επαρκείς σε υλικά με λίγες ατέλειες, όπου η ανασύνθεση που διευκολύνεται από παγίδες παίζει μόνο δευτερεύοντα ρόλο και ένα μόνο διακριτό επίπεδο παγίδας παρέχει μια εύλογη περιγραφή. Ωστόσο, μόλις η ανασύνθεση Shockley–Read–Hall γίνει η κυρίαρχη διαδικασία, όπως συμβαίνει συχνά σε αταξιακά ημιαγωγά, η εικόνα αλλάζει. Σε τέτοια συστήματα, οι παγίδες σπάνια εμφανίζονται σε μια μόνο ενεργειακή στάθμη, αλλά σχηματίζουν μια ευρεία κατανομή καταστάσεων εντός του ενεργειακού χάσματος, πράγμα που σημαίνει ότι μια περιγραφή της πυκνότητας των καταστάσεων είναι πιο κατάλληλη. Επιπλέον, ο μεγάλος αριθμός κατειλημμένων παγίδων εισάγει σημαντική παγιδευμένη φόρτιση, η οποία λειτουργεί όχι μόνο ως κανάλι ανασύνθεσης, αλλά και ως δεξαμενή φορέων που αναδιαμορφώνει το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε όλη τη συσκευή. Αυτό σημαίνει ότι η πληρότητα των παγίδων πρέπει να αντιμετωπίζεται με αυτοσυνέπεια με την εξίσωση του Poisson και όχι ως μια παθητική διαδικασία υποβάθρου. Επιπλέον, η υπόθεση της σταθερής κατάστασης εμποδίζει την περιγραφή των δυναμικών διαδικασιών: σε πειράματα χρονικής ανάλυσης ή σε παροδικές προσομοιώσεις, η πληρότητα των παγίδων εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου και αυτή η εξέλιξη είναι ουσιαστική για τη δυναμική της ανασύνθεσης. Για αυτούς τους λόγους, ενώ η συνοπτική φόρμουλα SRH είναι ένα πολύτιμο σημείο εκκίνησης, πρέπει να γενικευτεί σε υλικά με υψηλές πυκνότητες παγίδων ή σε καταστάσεις όπου η μη ισορροπημένη δυναμική είναι σημαντική.

Για να κατανοήσουμε και να λάβουμε υπόψη σωστά αυτές τις διαφορές μεταξύ της στατικής προσέγγισης του φορμαλισμού Shockley–Read–Hall και της ευρύτερης προσέγγισης που παρουσιάζεται στην αρχική εργασία, πρέπει να εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στην υποκείμενη θεωρία.

2. Κατανόηση της δυναμικής εξίσωσης του ρυθμού SRH.

Για να κατανοήσουμε πραγματικά τι σημαίνει ο φορμαλισμός Shockley–Read–Hall (SRH), πρέπει να εξετάσουμε προσεκτικά τον τρόπο με τον οποίο τον διατύπωσαν οι αρχικοί συγγραφείς. Αυτό που έκαναν ήταν να γράψουν μια εξίσωση ρυθμού για την πληρότητα μιας παγίδας εντός του ενεργειακού διαστήματος του ημιαγωγού. Αυτή η εξίσωση ρυθμού δίνεται παρακάτω και απεικονίζεται σχηματικά στο ??. Περιγράφει πώς αλλάζει ο αριθμός των φορέων σε μια παγίδα λόγω των διαδικασιών σύλληψης και διαφυγής.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

Σε αυτή την έκφραση, οι τέσσερις όροι αντιστοιχούν στις τέσσερις πιθανές ροές φορέων που σχετίζονται με μια παγίδα ηλεκτρονίων. Ο όρος \(r_{ec}\) αντιπροσωπεύει την παγίδευση ηλεκτρονίων από τον πληθυσμό των ελεύθερων ηλεκτρονίων στην παγίδα, ενώ ο \(r_{ee}\) αντιπροσωπεύει την εκπομπή ηλεκτρονίων πίσω στην ενεργειακή ζώνη. Ομοίως, ο \(r_{hc}\) είναι ο ρυθμός παγίδευσης οπών στην παγίδα και ο \(r_{he}\) είναι ο ρυθμός εκπομπής οπών πίσω στον πληθυσμό των ελεύθερων οπών. Μαζί, αυτές οι διαδικασίες περιγράφουν την λεπτομερή ισορροπία της ροής φορέων προς και από ένα συγκεκριμένο επίπεδο παγίδευσης.

Είναι χρήσιμο να διαχωρίσουμε εννοιολογικά αυτές τις συνεισφορές. Οι όροι σύλληψης και εκπομπής ηλεκτρονίων (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) περιγράφουν την καθαρή παγίδευση φορτίου, όπως θα φανταζόταν κανείς για παγίδες που αποθηκεύουν ηλεκτρόνια. Οι όροι σύλληψης και εκπομπής οπών (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) περιγράφουν την ανασύσταση, καθώς αντιπροσωπεύουν την εξαφάνιση ή την αναδημιουργία του παγιδευμένου φορτίου μέσω αλληλεπίδρασης με τον πληθυσμό των ελεύθερων οπών. Το βασικό σημείο εδώ είναι ότι η ίδια η παγίδα περιέχει πραγματικά φορτίο — δεν είναι απλώς μια μαθηματική «παγίδα» για την ανασύσταση, αλλά ένα πραγματικό αποθετήριο φορέων που πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη μοντελοποίηση τόσο της ανασύστασης όσο και της ηλεκτροστατικής της συσκευής.

2. Πιθανότητα διαφυγής έναντι πιθανότητας σύλληψης.

Οι ρυθμοί σύλληψης και διαφυγής των φορέων που αλληλεπιδρούν με μια παγίδα συνοψίζονται στον πίνακα παρακάτω, ενώ οι αντίστοιχες πιθανότητες διαφυγής δίνονται στις παρακάτω εξισώσεις. Ένα βασικό χαρακτηριστικό της θεωρίας Shockley–Read–Hall είναι η ισχυρή εξάρτηση της πιθανότητας διαφυγής από το ενεργειακό βάθος της παγίδας. Οι φορείς που παγιδεύονται κοντά σε μια άκρη ζώνης μπορούν να διαφύγουν σχετικά εύκολα, ενώ οι φορείς σε βαθύτερες παγίδες έχουν πολύ χαμηλότερη πιθανότητα εκπομπής. Αυτή η συμπεριφορά αντικατοπτρίζεται άμεσα στους εκθετικούς όρους των εκφράσεων της πιθανότητας διαφυγής. Αντίθετα, η πιθανότητα σύλληψης ενός φορέα σε μια παγίδα δεν εξαρτάται από το βάθος της παγίδας· εξαρτάται μόνο από το αν η παγίδα είναι άδεια ή κατειλημμένη. Μια άδεια παγίδα είναι πολύ πιθανό να συλλάβει έναν προσεγγίζοντα φορέα, ενώ μια πλήρως κατειλημμένη παγίδα δεν μπορεί να συλλάβει επιπλέον φορείς. Εξετάζοντας τον πίνακα Πίνακας 9.1, μπορεί κανείς να δει αυτές τις αρχές να εκφράζονται μαθηματικά στους ρυθμούς σύλληψης και διαφυγής. Συνολικά, περιγράφουν ένα σύστημα στο οποίο οι φορείς πέφτουν εύκολα στις παγίδες, δυσκολεύονται όλο και περισσότερο να διαφύγουν εάν οι παγίδες βρίσκονται σε μεγαλύτερο ενεργειακό βάθος και όπου τόσο τα ηλεκτρόνια όσο και οι οπές μπορούν να συλληφθούν. Μόλις και τα δύο είδη καταλάβουν την ίδια παγίδα, συμβαίνει φυσικά η ανασύνθεση.

Οι πιθανότητες διαφυγής δίνονται από:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

και

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. Από μια παγίδα σε μια επίθεση τύπου DoS.

Μέχρι αυτό το σημείο, και όπως απεικονίζεται στην Εικ. 9.1, εξετάσαμε τη συμπεριφορά ενός και μόνο επιπέδου παγίδευσης (της «ιώδους παγίδας»). Στους πραγματικούς ημιαγωγούς με αταξία, ωστόσο, η ανασύνθεση σπάνια κυριαρχείται από μία μόνο διακριτή κατάσταση. Αντίθετα, υπάρχει μια κατανομή επιπέδων παγίδευσης που εκτείνεται στο ενεργειακό χάσμα, τόσο από την πλευρά της ζώνης αγωγιμότητας όσο και από την πλευρά της ζώνης σθένους. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να περιγράψουμε όχι μόνο τις παγίδες ηλεκτρονίων, αλλά και τις παγίδες οπών, καθώς και τις αντίστοιχες πυκνότητές τους ως συνάρτηση της ενέργειας.

Για να το επιτύχουμε αυτό, η πυκνότητα των παγίδων περιγράφεται από μια συνάρτηση πυκνότητας καταστάσεων \(\rho(E)\), η οποία μπορεί να οριστεί σε οποιαδήποτε αναλυτική μορφή είναι κατάλληλη για το υλικό που μελετάται. Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιούμε μια εκθετική κατανομή των καταστάσεων παγίδων:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

όπου \(N^{e/h}\) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων στην άκρη της ζώνης (LUMO ή HOMO) σε μονάδες καταστάσεων ανά eV, και \(E_{u}^{e/h}\) είναι η χαρακτηριστική ενέργεια της κλίσης που ορίζει την εκθετική καμπύλη. Η αποτελεσματική πυκνότητα των παγίδων που σχετίζεται με ένα συγκεκριμένο επίπεδο ενέργειας λαμβάνεται στη συνέχεια με τη μέση τιμή στο διάστημα ενέργειας \(\Delta E\) που αντιπροσωπεύει την παγίδα:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

Στην πράξη, το μοντέλο διακριτοποιεί την κατανομή σε έναν πεπερασμένο αριθμό ενεργειακών επιπέδων παγίδευσης. Για κάθε ενεργειακό επίπεδο παγίδευσης, γράφουμε μια ξεχωριστή εξίσωση ρυθμού, όπως περιγράφηκε προηγουμένως, και του αποδίδουμε μια αντίστοιχη πυκνότητα \(N_t\). Συνήθως, χρησιμοποιούνται μεταξύ τριών και είκοσι ενεργειακών επιπέδων παγίδευσης, τόσο κάτω από τη ζώνη αγωγιμότητας όσο και κάτω από τη ζώνη σθένους, και το καθένα από αυτά μπορεί να αποθηκεύσει φορτίο. Στη συνέχεια, η συνολική παγιδευμένη φόρτιση συνδέεται αυτοσυνεπώς με την εξίσωση του Poisson, διασφαλίζοντας ότι το ηλεκτροστατικό προφίλ της συσκευής λαμβάνει υπόψη την πληρότητα των ενεργειακών επιπέδων παγίδευσης.

Τέλος, οι όροι ανασύνθεσης που περιλαμβάνουν παγίδες εμφανίζονται ρητά στις εξισώσεις συνέχειας των φορέων. Για παράδειγμα, ο ρυθμός ανασύνθεσης Shockley–Read–Hall γράφεται ως:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

συνδέοντας άμεσα τους ρυθμούς σύλληψης και απελευθέρωσης των ηλεκτρονίων και των οπών με την ισορροπία των φορέων στις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους. Με αυτόν τον τρόπο, τόσο οι διαδικασίες παγίδευσης όσο και οι διαδικασίες ανασύνθεσης περιγράφονται με τον ίδιο τρόπο και οι συνεισφορές τους ενσωματώνονται φυσικά στις εξισώσεις συνέχειας και Poisson, οι οποίες διέπουν τη λειτουργία της συσκευής.

Το τελικό αποτέλεσμα.

Η επίλυση του συνόλου των εξισώσεων Shockley–Read–Hall τόσο στον ενεργειακό χώρο όσο και στον χωρικό χώρο σε όλη τη συσκευή έχει ως αποτέλεσμα να μπορούμε να περιγράψουμε πού βρίσκεται το φορτίο, όχι μόνο όσον αφορά τη θέση, αλλά και όσον αφορά την ενέργεια. Αυτό μας επιτρέπει να αποτυπώσουμε τη δυναμική του φορτίου που κυριαρχεί σε υλικά με υψηλό βαθμό διαταραχής. Ένα παράδειγμα παρουσιάζεται στο ??, όπου προσομοιώνουμε μια καμπύλη J–V σε συνθήκες σκότους καθώς η εφαρμοσμένη τάση αυξάνεται από 0 V. Καθώς αυξάνεται η τάση, οι φορείς φορτίου εισάγονται από τις επαφές και γεμίζουν σταδιακά τις καταστάσεις παγίδευσης. Αυτά τα παγιδευμένα φορτία λειτουργούν ταυτόχρονα ως κέντρα ανασύνθεσης και ως πηγές χωρικού φορτίου που αναδιαμορφώνουν το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε όλη τη συσκευή. Χωρίς τη συμπερίληψη αυτών των επιδράσεων, οποιαδήποτε προσομοίωση συσκευής θα είναι ελλιπής και πιθανότατα ανακριβής. Για μια λεπτομερή συζήτηση σχετικά με το γιατί οι καταστάσεις παγίδευσης πρέπει να συμπεριλαμβάνονται σε αυτά τα μοντέλα, δείτε το αυτή η ενότητα.