Nierównowagowe wychwytywanie i rekombinacja nośników ładunku z wykorzystaniem stanów pułapkujących Shockleya-Reada-Halla.

1. Wprowadzenie

Wielu czytelników zetknie się z procesem rekombinacji Shockleya–Reada–Halla (SRH) po raz pierwszy na zajęciach z fizyki na studiach licencjackich. Zazwyczaj przedstawia się go jako mechanizm rekombinacji między nośnikiem swobodnym a nośnikiem uwięzionym, a jego działanie można streścić za pomocą następującego, powszechnie znanego i uproszczonego wzoru:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

gdzie:

• \(\tau_{n}\) i \(\tau_{p}\) oznaczają odpowiednio czas życia elektronu i dziury w pułapce.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) to efektywna gęstość elektronów, gdy pułapka znajduje się w stanie równowagi.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) to odpowiednia wartość gęstości otworów.
• \(E_{t}\) to poziom energii odpowiadający pułapce, a \(n_{i}\) to wbudowane stężenie nośników.

To równanie zostało wyprowadzone po raz pierwszy w publikacji Shockley i Read, Physical Review 87, 835 (1952), a szczegółowy opis można znaleźć w sekcji Teoria SRH instrukcji.

Należy jednak pamiętać, że przedstawione powyżej równanie nie oddaje w pełni całej sytuacji. Ta zwięzła forma wynika z pierwotnej analizy Shockleya–Reada–Halla, opartej na szeregu upraszczających założeń:

• Warunki stanu ustalonego: zakłada się, że liczba cząstek uwięzionych w pułapce nie zmienia się w czasie, co oznacza, że szybkość wychwytywania i emisji są sobie równe.
• Pojedynczy poziom pułapkowania: rekombinacja zachodzi poprzez pojedynczy, wyraźnie zdefiniowany energetycznie poziom defektu w przedziale energetycznym o energii \(E_t\).

Założenia te są w pełni wystarczające w przypadku materiałów zawierających tylko niewielką ilość zanieczyszczeń, gdzie rekombinacja wspomagana przez pułapki odgrywa jedynie marginalną rolę, a pojedynczy, wyraźny poziom pułapki zapewnia adekwatny opis. Jednak gdy rekombinacja Shockleya–Reada–Halla staje się dominującym procesem, co często ma miejsce w materiałach półprzewodnikowych o nieuporządkowanej strukturze, sytuacja się zmienia. W takich układach pułapki rzadko występują na jednym poziomie energii, lecz tworzą szeroki rozkład stanów w przerwie energetycznej, co oznacza, że bardziej odpowiedni jest opis oparty na gęstości stanów. Ponadto, duża liczba zajętych pułapek wprowadza znaczną ilość ładunku uwięzionego, który działa nie tylko jako kanał rekombinacji, ale także jako rezerwuar nośników, kształtując elektrostatyczny potencjał w całym urządzeniu. Oznacza to, że zajętość pułapek musi być traktowana w sposób spójny z równaniem Poissona, a nie jako pasywny proces tła. Ponadto, założenie o stanie ustalonym uniemożliwia opis dynamicznych procesów: w eksperymentach z rozdzielczością czasową lub symulacjach przejściowych zajętość pułapek zmienia się w czasie, a ta zmiana sama w sobie jest kluczowa dla dynamiki rekombinacji. Z tych powodów, chociaż zwięzły wzór SRH stanowi wartościowy punkt wyjścia, musi on zostać uogólniony w materiałach o wysokiej gęstości pułapek lub w sytuacjach, w których istotna jest dynamika stanów niestabilnych.

Aby w pełni zrozumieć i uwzględnić różnice między statycznym formalizmem Shockleya–Reada–Halla a szerszym ujęciem przedstawionym w oryginalnej pracy, musimy dokładniej przyjrzeć się podstawowej teorii.

2. Zrozumienie dynamicznego równania opisującego wskaźnik SRH.

Aby w pełni zrozumieć, co oznacza formalizm Shockleya–Reada–Halla (SRH), musimy dokładnie przeanalizować sposób, w jaki pierwotni autorzy go sformułowali. Autorzy opracowali równanie opisujące szybkość zajmowania stanu pułapki w obszarze przerwy energetycznej półprzewodnika. To równanie przedstawiono poniżej i zilustrowano schematycznie w ??. Opisuje ono, w jaki sposób liczba nośników w pułapce zmienia się w wyniku procesów wychwytywania i uwalniania.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

W tym wyrażeniu cztery składniki odpowiadają czterem możliwym przepływom nośników ładunku związanym z pułapką elektronową. Składnik \(r_{ec}\) reprezentuje wychwytywanie elektronów z populacji swobodnych elektronów do pułapki, natomiast \(r_{ee}\) reprezentuje emisję elektronów z powrotem do pasma przewodnictwa. Podobnie, \(r_{hc}\) oznacza szybkość wychwytywania dziur do pułapki, a \(r_{he}\) – szybkość emisji dziur z powrotem do populacji swobodnych dziur. Razem procesy te opisują szczegółową równowagę przepływu nośników ładunku do i z pojedynczego poziomu pułapki.

Warto rozpatrywać te mechanizmy oddzielnie. Czynniki związane z wychwytywaniem i emisją elektronów (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) opisują czyste zjawisko zatrzymywania ładunku, tak jak zwykle wyobraża się to w przypadku pułapek, w których gromadzą się elektrony. Czynniki związane z wychwytywaniem i emisją dziur (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) opisują rekombinację, ponieważ reprezentują anihilację lub ponowne tworzenie zatrzymanego ładunku w wyniku interakcji z populacją wolnych dziur. Kluczowym aspektem jest tutaj fakt, że sama pułapka faktycznie zawiera ładunek – nie jest to jedynie matematyczny punkt, w którym dochodzi do rekombinacji, ale realne źródło nośników, które należy uwzględnić podczas modelowania zarówno rekombinacji, jak i elektrostatyki urządzenia.

2. Prawdopodobieństwo ucieczki w porównaniu z prawdopodobieństwem schwytania.

W tabeli poniżej przedstawiono wskaźniki wychwytywania i uwalniania nośników oddziałujących z pułapką, a odpowiadające im prawdopodobieństwa uwalniania podano w poniższych równaniach. Kluczową cechą teorii Shockleya–Reada–Halla jest silna zależność prawdopodobieństwa uwalniania od głębokości energetycznej pułapki. Nośniki uwięzione blisko krawędzi pasma mogą stosunkowo łatwo się uwolnić, natomiast nośniki uwięzione w głębszych pułapkach mają znacznie mniejsze prawdopodobieństwo emisji. To zachowanie znajduje bezpośrednie odzwierciedlenie w wykładnikach wyrażeń dotyczących prawdopodobieństwa uwalniania. Z kolei prawdopodobieństwo wychwycenia nośnika do pułapki nie zależy od głębokości pułapki, lecz jedynie od tego, czy pułapka jest pusta, czy zajęta. Pusta pułapka z dużym prawdopodobieństwem wychwyci zbliżający się nośnik, natomiast w pełni zajęta pułapka nie może wychwycić dodatkowych nośników. Analizując Tabelę 9.1, można zauważyć, że te zasady są wyrażone matematycznie w wskaźnikach wychwytywania i uwalniania. Razem opisują one system, w którym nośniki łatwo wpadają w pułapki, a ucieczka z głębszych pułapek staje się coraz trudniejsza, oraz w którym zarówno elektrony, jak i dziury mogą być wychwytywane. Gdy oba rodzaje nośników znajdują się w tej samej pułapce, naturalnie dochodzi do rekombinacji.

Prawdopodobieństwa uwolnienia się są wyrażone wzorem:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

i

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. Od jednej pułapki do ataku typu DoS.

Do tego momentu, jak to pokazano w Rys. 9.1, analizowaliśmy zachowanie pojedynczego poziomu pułapki („fioletowa pułapka”). W rzeczywistych, nieuporządkowanych półprzewodnikach rekombinacja rzadko jest zdominowana przez jeden, pojedynczy stan. Zamiast tego występuje rozkład poziomów pułapek, który rozciąga się wzdłuż przerwy energetycznej, zarówno od krawędzi pasma przewodnictwa, jak i pasma walencyjnego. Oznacza to, że musimy opisać nie tylko pułapki elektronów, ale także pułapki dziur, oraz ich odpowiednie gęstości w funkcji energii.

W tym celu gęstość pułapek opisuje się za pomocą funkcji gęstości stanów \(\rho(E)\), którą można ustawić w dowolnej formie analitycznej, odpowiedniej dla badanego materiału. W tym przykładzie używamy rozkładu wykładniczego stanów pułapek:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

gdzie \(N^{e/h}\) oznacza gęstość stanów na krawędzi pasma (LUMO lub HOMO), wyrażoną w jednostkach stanów na elektronowolt, a \(E_{u}^{e/h}\) to charakterystyczna energia nachylenia, która definiuje eksponencjalny spadek. Efektywna gęstość pułapek związana z określonym poziomem energii jest następnie obliczana poprzez uśrednienie w przedziale energii \(\Delta E\), który reprezentuje pułapkę:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

W praktyce model dzieli rozkład na skończoną liczbę poziomów pułapek. Dla każdego poziomu pułapki zapisujemy oddzielne równanie szybkości, zgodnie z wcześniejszym opisem, i przypisujemy mu odpowiednią gęstość \(N_t\). Zazwyczaj stosuje się od trzech do dwudziestu poziomów pułapek zarówno pod pasmem przewodnictwa, jak i pod pasmem walencyjnym, a każdy z nich może magazynować ładunek. Całkowity ładunek zgromadzony w pułapkach jest następnie w sposób samospójny sprzężony z równaniem Poissona, co zapewnia, że profil elektrostatyczny urządzenia uwzględnia zajętość pułapek.

Na koniec, wyrażenia opisujące rekombinację wspomaganą przez pułapki pojawiają się w równaniach ciągłości nośników. Na przykład, szybkość rekombinacji Shockleya–Reada–Halla zapisuje się w następujący sposób:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

w ten sposób powiązuje się szybkość wychwytywania i uwalniania elektronów oraz dziur z bilansem nośników w pasmach przewodnictwa i walencyjnych. Dzięki temu procesy wychwytywania i rekombinacji są opisywane w sposób równoważny, a ich wpływ jest w naturalny sposób uwzględniany w równaniach ciągłości i równaniach Poissona, które określają działanie urządzenia.

Ostateczny wynik

Rozwiązanie pełnego zestawu równań Shockleya–Reada–Halla zarówno w przestrzeni energii, jak i w przestrzeni położenia w całym obszarze urządzenia pozwala nam określić, gdzie znajdują się ładunki, nie tylko pod względem położenia, ale także pod względem energii. Dzięki temu możemy opisać dynamikę ładunków, która dominuje w silnie nieuporządkowanych materiałach. Przykład przedstawiono w ??, gdzie symulujemy charakterystykę J–V w warunkach braku oświetlenia, przy stopniowym zwiększaniu przyłożonego napięcia od 0 V. Wraz ze wzrostem napięcia nośniki ładunku są wprowadzane z kontaktów i stopniowo wypełniają stany pułapkowe. Te uwięzione ładunki działają jednocześnie jako centra rekombinacji i jako źródła ładunku przestrzennego, które zmieniają potencjał elektrostatyczny w całym urządzeniu. Pominięcie tych efektów spowoduje, że każda symulacja urządzenia będzie niekompletna i prawdopodobnie nieprawidłowa. Szczegółowe omówienie, dlaczego stany pułapkowe muszą być uwzględniane w takich modelach, można znaleźć w ta sekcja.