Intrappolamento e ricombinazione di portatori di carica in condizioni di non equilibrio mediante stati di trappola di Shockley-Read-Hall.Intrappolamento e ricombinazione di portatori di carica in condizioni di non equilibrio mediante stati di trappola di Shockley-Read-Hall.

1. Introduzione1. Introduzione

Molti studenti avranno modo di conoscere per la prima volta il processo di ricombinazione di Shockley–Read–Hall (SRH) durante i corsi di fisica del primo ciclo universitario. Tale processo viene spesso presentato come un meccanismo di ricombinazione tra un portatore di carica libero e un portatore di carica intrappolato, ed è riassunto nella seguente espressione, ampiamente nota e semplificata:Molti studenti avranno modo di conoscere per la prima volta il processo di ricombinazione di Shockley–Read–Hall (SRH) durante i corsi di fisica del primo ciclo universitario. Tale processo viene spesso presentato come un meccanismo di ricombinazione tra un portatore di carica libero e un portatore di carica intrappolato, ed è riassunto nella seguente espressione, ampiamente nota e semplificata:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \] \[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

in cui:

• \(\tau_{n}\) e \(\tau_{p}\) rappresentano rispettivamente la durata della vita degli elettroni e delle lacune associate alla trappola.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) rappresenta la densità elettronica effettiva quando la trappola si trova in uno stato di equilibrio.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) rappresenta la densità corrispondente dei fori.
• \(E_{t}\) rappresenta il livello di energia della trappola, mentre \(n_{i}\) indica la concentrazione intrinseca dei portatori di carica.

• \(\tau_{n}\) e \(\tau_{p}\) rappresentano rispettivamente la durata della vita degli elettroni e delle lacune associate alla trappola.
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) rappresenta la densità elettronica effettiva quando la trappola si trova in uno stato di equilibrio.
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) rappresenta la densità corrispondente dei fori.
• \(E_{t}\) rappresenta il livello di energia della trappola, mentre \(n_{i}\) indica la concentrazione intrinseca dei portatori di carica.

Questa equazione è stata formulata per la prima volta in Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) ed è descritta in modo più dettagliato nella sezione teoria SRH del manuale.Questa equazione è stata formulata per la prima volta in Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) ed è descritta in modo più dettagliato nella sezione teoria SRH del manuale.

Tuttavia, è importante sottolineare che l’equazione sopra riportata non rappresenta la situazione nella sua interezza. Questa forma semplificata deriva dall’analisi originale di Shockley–Read–Hall, basata su una serie di ipotesi semplificatrici:Tuttavia, è importante sottolineare che l’equazione sopra riportata non rappresenta la situazione nella sua interezza. Questa forma semplificata deriva dall’analisi originale di Shockley–Read–Hall, basata su una serie di ipotesi semplificatrici:

• Condizioni di regime stazionario: si assume che il numero di particelle intrappolate rimanga costante nel tempo, in modo che i tassi di cattura e di emissione si equivalgano.Condizioni di regime stazionario: si assume che il numero di particelle intrappolate rimanga costante nel tempo, in modo che i tassi di cattura e di emissione si equivalgano.
• Livello di trappola singolo: la ricombinazione avviene attraverso un singolo livello di difetto, caratterizzato da una marcata differenza di energia, all’interno del gap energetico, a un’energia pari a \(E_t\).Livello di trappola singolo: la ricombinazione avviene attraverso un singolo livello di difetto, caratterizzato da una marcata differenza di energia, all’interno del gap energetico, a un’energia pari a \(E_t\).

Queste ipotesi sono perfettamente adeguate per materiali con solo poche impurità, dove la ricombinazione assistita da trappole gioca un ruolo secondario e un singolo livello di trappola discreto fornisce una descrizione ragionevole. Tuttavia, una volta che la ricombinazione di Shockley–Read–Hall diventa il processo dominante, come spesso accade nei semiconduttori disordinati, il quadro cambia. In tali sistemi, le trappole si verificano raramente a un singolo livello energetico, ma piuttosto formano un’ampia distribuzione di stati all’interno del gap di banda, il che significa che una descrizione basata sulla densità degli stati è più appropriata. Inoltre, l’elevato numero di trappole occupate introduce una quantità significativa di carica intrappolata, che agisce non solo come canale di ricombinazione, ma anche come serbatoio di portatori che rimodella il potenziale elettrostatico all’interno del dispositivo. Ciò significa che l’occupazione delle trappole deve essere trattata in modo autoconsistente con l’equazione di Poisson, piuttosto che come un processo di sfondo passivo. Inoltre, l’ipotesi dello stato stazionario impedisce la descrizione dei processi dinamici: negli esperimenti risolti nel tempo o nelle simulazioni transitorie, l’occupazione delle trappole evolve nel tempo e questa evoluzione stessa è essenziale per la dinamica della ricombinazione. Per questi motivi, sebbene la formula SRH semplificata sia un valido punto di partenza, deve essere generalizzata per i materiali con elevate densità di trappole o in situazioni in cui la dinamica non all’equilibrio è importante.Queste ipotesi sono perfettamente adeguate per materiali con solo poche impurità, dove la ricombinazione assistita da trappole gioca un ruolo secondario e un singolo livello di trappola discreto fornisce una descrizione ragionevole. Tuttavia, una volta che la ricombinazione di Shockley–Read–Hall diventa il processo dominante, come spesso accade nei semiconduttori disordinati, il quadro cambia. In tali sistemi, le trappole si verificano raramente a un singolo livello energetico, ma piuttosto formano un’ampia distribuzione di stati all’interno del gap di banda, il che significa che una descrizione basata sulla densità degli stati è più appropriata. Inoltre, l’elevato numero di trappole occupate introduce una quantità significativa di carica intrappolata, che agisce non solo come canale di ricombinazione, ma anche come serbatoio di portatori che rimodella il potenziale elettrostatico all’interno del dispositivo. Ciò significa che l’occupazione delle trappole deve essere trattata in modo autoconsistente con l’equazione di Poisson, piuttosto che come un processo di sfondo passivo. Inoltre, l’ipotesi dello stato stazionario impedisce la descrizione dei processi dinamici: negli esperimenti risolti nel tempo o nelle simulazioni transitorie, l’occupazione delle trappole evolve nel tempo e questa evoluzione stessa è essenziale per la dinamica della ricombinazione. Per questi motivi, sebbene la formula SRH semplificata sia un valido punto di partenza, deve essere generalizzata per i materiali con elevate densità di trappole o in situazioni in cui la dinamica non all’equilibrio è importante.

Per comprendere appieno e tener conto delle differenze tra il formalismo di Shockley–Read–Hall in condizioni di stato stazionario e l’approccio più ampio adottato nell’opera originale, è necessario approfondire un po’ la teoria di base.Per comprendere appieno e tener conto delle differenze tra il formalismo di Shockley–Read–Hall in condizioni di stato stazionario e l’approccio più ampio adottato nell’opera originale, è necessario approfondire un po’ la teoria di base.

2. Comprensione dell’equazione dinamica del tasso di SRH2. Comprensione dell’equazione dinamica del tasso di SRH

Per comprendere appieno il significato del formalismo di Shockley–Read–Hall (SRH), è necessario analizzare attentamente il modo in cui gli autori originali lo hanno definito. Essi hanno elaborato un’equazione che descrive la velocità con cui un determinato stato di trappola viene occupato all’interno del gap di energia del semiconduttore. Tale equazione è riportata di seguito ed è illustrata schematicamente in ??. Essa descrive come il numero di portatori di carica in una trappola varia a causa dei processi di cattura e rilascio.Per comprendere appieno il significato del formalismo di Shockley–Read–Hall (SRH), è necessario analizzare attentamente il modo in cui gli autori originali lo hanno definito. Essi hanno elaborato un’equazione che descrive la velocità con cui un determinato stato di trappola viene occupato all’interno del gap di energia del semiconduttore. Tale equazione è riportata di seguito ed è illustrata schematicamente in ??. Essa descrive come il numero di portatori di carica in una trappola varia a causa dei processi di cattura e rilascio.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \] \[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

In questa espressione, i quattro termini corrispondono ai quattro possibili flussi di carica associati a una trappola di elettroni. Il termine \(r_{ec}\) rappresenta la cattura di elettroni dalla popolazione di elettroni liberi nella trappola, mentre \(r_{ee}\) rappresenta l’emissione di elettroni dalla trappola verso la banda di conduzione. Analogamente, \(r_{hc}\) è la velocità di cattura di lacune nella trappola e \(r_{he}\) è la velocità di emissione di lacune dalla trappola verso la popolazione di lacune libere. Insieme, questi processi descrivono l’equilibrio dettagliato dei flussi di carica in entrata e in uscita da un singolo livello di trappola.In questa espressione, i quattro termini corrispondono ai quattro possibili flussi di carica associati a una trappola di elettroni. Il termine \(r_{ec}\) rappresenta la cattura di elettroni dalla popolazione di elettroni liberi nella trappola, mentre \(r_{ee}\) rappresenta l’emissione di elettroni dalla trappola verso la banda di conduzione. Analogamente, \(r_{hc}\) è la velocità di cattura di lacune nella trappola e \(r_{he}\) è la velocità di emissione di lacune dalla trappola verso la popolazione di lacune libere. Insieme, questi processi descrivono l’equilibrio dettagliato dei flussi di carica in entrata e in uscita da un singolo livello di trappola.

È utile distinguere concettualmente questi contributi. I termini relativi alla cattura e all’emissione di elettroni (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) descrivono il semplice intrappolamento di carica, come ci si aspetterebbe per le trappole che immagazzinano elettroni. I termini relativi alla cattura e all’emissione di lacune (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) descrivono la ricombinazione, poiché rappresentano l’annichilimento o la ricreazione della carica intrappolata attraverso l’interazione con la popolazione di lacune libere. L’aspetto fondamentale è che la trappola stessa contiene effettivamente carica: non è semplicemente un punto di smaltimento matematico per la ricombinazione, ma un vero e proprio serbatoio di portatori di carica che deve essere preso in considerazione quando si modellano sia la ricombinazione che l’elettrostatica del dispositivo.È utile distinguere concettualmente questi contributi. I termini relativi alla cattura e all’emissione di elettroni (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) descrivono il semplice intrappolamento di carica, come ci si aspetterebbe per le trappole che immagazzinano elettroni. I termini relativi alla cattura e all’emissione di lacune (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) descrivono la ricombinazione, poiché rappresentano l’annichilimento o la ricreazione della carica intrappolata attraverso l’interazione con la popolazione di lacune libere. L’aspetto fondamentale è che la trappola stessa contiene effettivamente carica: non è semplicemente un punto di smaltimento matematico per la ricombinazione, ma un vero e proprio serbatoio di portatori di carica che deve essere preso in considerazione quando si modellano sia la ricombinazione che l’elettrostatica del dispositivo.

2. Probabilità di fuga rispetto alla probabilità di cattura2. Probabilità di fuga rispetto alla probabilità di cattura

I tassi di cattura e di rilascio dei portatori di carica che interagiscono con una trappola sono riassunti nella tabella sotto, mentre le corrispondenti probabilità di rilascio sono indicate nelle equazioni riportate di seguito. Un aspetto fondamentale della teoria di Shockley–Read–Hall è la forte dipendenza della probabilità di rilascio dalla profondità energetica della trappola. I portatori di carica intrappolati vicino al bordo di una banda possono sfuggire relativamente facilmente, mentre i portatori di carica intrappolati in trappole più profonde hanno una probabilità di emissione molto più bassa. Questo comportamento si riflette direttamente nei termini esponenziali delle espressioni della probabilità di rilascio. Al contrario, la probabilità che un portatore di carica venga catturato in una trappola non dipende dalla profondità della trappola, ma solo dal fatto che la trappola sia vuota o occupata. Una trappola vuota ha un’alta probabilità di catturare un portatore di carica in avvicinamento, mentre una trappola completamente occupata non può catturare ulteriori portatori di carica. Osservando la Tabella 9.1, si può notare come questi principi siano espressi matematicamente nei tassi di cattura e di rilascio. Considerati insieme, descrivono un sistema in cui i portatori di carica cadono facilmente nelle trappole, trovano sempre più difficile sfuggirvi se le trappole si trovano a una profondità energetica maggiore e in cui sia gli elettroni che le lacune possono essere catturati. Una volta che entrambe le specie occupano la stessa trappola, si verifica naturalmente la ricombinazione.I tassi di cattura e di rilascio dei portatori di carica che interagiscono con una trappola sono riassunti nella tabella sotto, mentre le corrispondenti probabilità di rilascio sono indicate nelle equazioni riportate di seguito. Un aspetto fondamentale della teoria di Shockley–Read–Hall è la forte dipendenza della probabilità di rilascio dalla profondità energetica della trappola. I portatori di carica intrappolati vicino al bordo di una banda possono sfuggire relativamente facilmente, mentre i portatori di carica intrappolati in trappole più profonde hanno una probabilità di emissione molto più bassa. Questo comportamento si riflette direttamente nei termini esponenziali delle espressioni della probabilità di rilascio. Al contrario, la probabilità che un portatore di carica venga catturato in una trappola non dipende dalla profondità della trappola, ma solo dal fatto che la trappola sia vuota o occupata. Una trappola vuota ha un’alta probabilità di catturare un portatore di carica in avvicinamento, mentre una trappola completamente occupata non può catturare ulteriori portatori di carica. Osservando la Tabella 9.1, si può notare come questi principi siano espressi matematicamente nei tassi di cattura e di rilascio. Considerati insieme, descrivono un sistema in cui i portatori di carica cadono facilmente nelle trappole, trovano sempre più difficile sfuggirvi se le trappole si trovano a una profondità energetica maggiore e in cui sia gli elettroni che le lacune possono essere catturati. Una volta che entrambe le specie occupano la stessa trappola, si verifica naturalmente la ricombinazione.

Le probabilità di fuga sono espresse dalla seguente formula:Le probabilità di fuga sono espresse dalla seguente formula:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

ee

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \] \[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

The occupation function is given by the equation, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Where, \(E_{t}\) is the trap level, and \(F_{t}\) is the Fermi-Level of the trap.

3. Da una singola vulnerabilità a un attacco DoS.3. Da una singola vulnerabilità a un attacco DoS.

Fino a questo punto, e come illustrato in Fig. 9.1, abbiamo considerato il comportamento di un singolo livello di trappola (la «trappola viola»). Tuttavia, nei semiconduttori disordinati reali, la ricombinazione è raramente dominata da un singolo stato discreto. Piuttosto, esiste una distribuzione di livelli di trappola che si estende attraverso il gap di banda, partendo dai bordi delle bande di conduzione e di valenza. Ciò significa che dobbiamo descrivere non solo le trappole per gli elettroni, ma anche le trappole per le lacune, e le rispettive densità in funzione dell’energia.Fino a questo punto, e come illustrato in Fig. 9.1, abbiamo considerato il comportamento di un singolo livello di trappola (la «trappola viola»). Tuttavia, nei semiconduttori disordinati reali, la ricombinazione è raramente dominata da un singolo stato discreto. Piuttosto, esiste una distribuzione di livelli di trappola che si estende attraverso il gap di banda, partendo dai bordi delle bande di conduzione e di valenza. Ciò significa che dobbiamo descrivere non solo le trappole per gli elettroni, ma anche le trappole per le lacune, e le rispettive densità in funzione dell’energia.

Per fare ciò, la densità delle trappole è descritta da una funzione della densità degli stati \(\rho(E)\), che può essere impostata in qualsiasi forma analitica appropriata per il materiale in esame. In questo esempio, utilizziamo una distribuzione esponenziale degli stati di trappola:Per fare ciò, la densità delle trappole è descritta da una funzione della densità degli stati \(\rho(E)\), che può essere impostata in qualsiasi forma analitica appropriata per il materiale in esame. In questo esempio, utilizziamo una distribuzione esponenziale degli stati di trappola:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \] \[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

dove \(N^{e/h}\) è la densità degli stati al bordo della banda (LUMO o HOMO), espressa in unità di stati per elettronvolt, e \(E_{u}^{e/h}\) è l’energia caratteristica della pendenza che definisce la regione esponenziale. La densità effettiva delle trappole associata a un determinato livello energetico si ottiene quindi calcolando la media sull’intervallo di energia \(\Delta E\), che rappresenta la trappola:dove \(N^{e/h}\) è la densità degli stati al bordo della banda (LUMO o HOMO), espressa in unità di stati per elettronvolt, e \(E_{u}^{e/h}\) è l’energia caratteristica della pendenza che definisce la regione esponenziale. La densità effettiva delle trappole associata a un determinato livello energetico si ottiene quindi calcolando la media sull’intervallo di energia \(\Delta E\), che rappresenta la trappola:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \] \[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

In pratica, il modello suddivide la distribuzione in un numero finito di livelli di trappola. Per ciascun livello di trappola, viene scritta un’equazione di velocità separata, come descritto in precedenza, e gli viene assegnata una densità corrispondente \(N_t\). In genere, vengono utilizzati da tre a venti livelli di trappola sia nella banda di conduzione che in quella di valenza, ciascuno dei quali può immagazzinare carica. La carica totale intrappolata viene quindi accoppiata in modo autoconsistente all’equazione di Poisson, garantendo che il profilo elettrostatico del dispositivo tenga conto dell’occupazione delle trappole.In pratica, il modello suddivide la distribuzione in un numero finito di livelli di trappola. Per ciascun livello di trappola, viene scritta un’equazione di velocità separata, come descritto in precedenza, e gli viene assegnata una densità corrispondente \(N_t\). In genere, vengono utilizzati da tre a venti livelli di trappola sia nella banda di conduzione che in quella di valenza, ciascuno dei quali può immagazzinare carica. La carica totale intrappolata viene quindi accoppiata in modo autoconsistente all’equazione di Poisson, garantendo che il profilo elettrostatico del dispositivo tenga conto dell’occupazione delle trappole.

Infine, i termini relativi alla ricombinazione assistita da trappole compaiono esplicitamente nelle equazioni di continuità dei portatori di carica. Ad esempio, la velocità di ricombinazione di Shockley–Read–Hall è espressa come:Infine, i termini relativi alla ricombinazione assistita da trappole compaiono esplicitamente nelle equazioni di continuità dei portatori di carica. Ad esempio, la velocità di ricombinazione di Shockley–Read–Hall è espressa come:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

si stabilisce una correlazione diretta tra le frequenze di cattura e di rilascio degli elettroni e delle lacune e l’equilibrio delle cariche nelle bande di conduzione e di valenza. In questo modo, sia i processi di intrappolamento che quelli di ricombinazione vengono descritti in modo equivalente e i loro contributi vengono integrati in modo naturale nelle equazioni di continuità e di Poisson, che regolano il funzionamento del dispositivo.si stabilisce una correlazione diretta tra le frequenze di cattura e di rilascio degli elettroni e delle lacune e l’equilibrio delle cariche nelle bande di conduzione e di valenza. In questo modo, sia i processi di intrappolamento che quelli di ricombinazione vengono descritti in modo equivalente e i loro contributi vengono integrati in modo naturale nelle equazioni di continuità e di Poisson, che regolano il funzionamento del dispositivo.

Il risultato finaleIl risultato finale

La soluzione dell’insieme completo delle equazioni di Shockley–Read–Hall, sia nello spazio energetico sia nello spazio delle posizioni, permette di descrivere la distribuzione delle cariche all’interno del dispositivo, non solo in termini di posizione, ma anche in termini di energia. Questo ci consente di analizzare la dinamica delle cariche che prevale nei materiali altamente disordinati. Un esempio è mostrato in ??, dove simuliamo una curva J–V in condizioni di oscurità, aumentando la tensione applicata da 0 V. Man mano che la tensione aumenta, le cariche vengono iniettate dai contatti e riempiono progressivamente gli stati di trappola. Queste cariche intrappolate agiscono contemporaneamente come centri di ricombinazione e come fonti di carica spaziale, modificando il potenziale elettrostatico all’interno del dispositivo. Se questi effetti non vengono presi in considerazione, qualsiasi simulazione del dispositivo risulterà incompleta e probabilmente errata. Per una discussione dettagliata del motivo per cui gli stati di trappola devono essere inclusi in tali modelli, consultare questa sezione.La soluzione dell’insieme completo delle equazioni di Shockley–Read–Hall, sia nello spazio energetico sia nello spazio delle posizioni, permette di descrivere la distribuzione delle cariche all’interno del dispositivo, non solo in termini di posizione, ma anche in termini di energia. Questo ci consente di analizzare la dinamica delle cariche che prevale nei materiali altamente disordinati. Un esempio è mostrato in ??, dove simuliamo una curva J–V in condizioni di oscurità, aumentando la tensione applicata da 0 V. Man mano che la tensione aumenta, le cariche vengono iniettate dai contatti e riempiono progressivamente gli stati di trappola. Queste cariche intrappolate agiscono contemporaneamente come centri di ricombinazione e come fonti di carica spaziale, modificando il potenziale elettrostatico all’interno del dispositivo. Se questi effetti non vengono presi in considerazione, qualsiasi simulazione del dispositivo risulterà incompleta e probabilmente errata. Per una discussione dettagliata del motivo per cui gli stati di trappola devono essere inclusi in tali modelli, consultare questa sezione.